Ilość rozmieszczeń przedmiotów

[maciekstodulski]

Na ile sposobów można rozmieścić n identycznych przedmiotów w k rozróżnialnych pudełkach? Odpowiedź uzasadnij.
chodzi mi o uzasadnienie odpowiedzi .

[dr_grucha]

Oznaczmy pudełka podział między pudełkami jako "I" a przedmioty jako "o". Np jak chcemy rozmieścić 3 przedmioty w dwóch pudełkach to możemy je rozmieścić np tak:
oooI
ooIo
oIoo
Iooo

Więc problem tu się sprowadza do rozmieszczenia przegród między przedmiotami. Przegród mamy k-1 wszystkich obiektów n+k-1. Więc rozmieszczenie n identycznych przedmiotów w k rozróżnialnych szufladach sprowadza się do rozmieszczenia przegród na k-1 miejscach spośród n+k-1 możliwych, czyli \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k-1}}\)

[Lider_M]

Niech \(\displaystyle{ x_i}\) oznacza ilość przedmiotów w \(\displaystyle{ i}\)-tym pudełku. Należy więc zbadać ilość rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_k=n}\) dla \(\displaystyle{ x_i\geqslant 0}\), czyli szukaną ilością jest: \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k-1}}\)