Wewnątrz sześcianu o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) obrano \(\displaystyle{ 1997}\) punktów. Udowodnij, że co najmniej \(\displaystyle{ 10}\) spośród nich znajduje się wewnątrz pewnej kuli o promieniu \(\displaystyle{ 0,15}\).
Robiłem jakoś tak:
\(\displaystyle{ V_{sz} = 1^{3} = 1}\)
Teraz dzielimy objętość sześcianu na 1997, aby dowiedzieć się ile przestrzeni znajduje się co najmniej między sąsiednimi punktami
\(\displaystyle{ V_{p} = \frac{1}{1997} \approx 0,0005}\)
Objętość ta, to objętość małego sześcianika. Wyliczam jego krawędź:
\(\displaystyle{ a_{p} =\sqrt[3]{0,0005} \approx 0,079}\)
Objętość kuli o którym mówi treść:
\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi (0,15)^{3} \approx 0,014}\)
\(\displaystyle{ 10 V_{p} = 0,005}\)
\(\displaystyle{ V_{k} > V_{p}}\)
Czyli źle... bo powinno być odwrotnie :/
Jest jakiś inny, "elegancki" sposób na tego typu zadania?
Z góry dziękuję za odpowiedzi.