układ równań kongruencji

[nika88]

Witam wszystkich.
Mam ogromną prośbę, czy ktoś mógłby pomóc mi w rozwiązaniu następującego układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 5(mod 7)\\x\equiv 1(mod 4)\end{cases}}\)

[Qń]

W tym konkretnym wypadku wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x-5}\) jest podzielne i przez \(\displaystyle{ 7}\) i przez \(\displaystyle{ 4}\), a zatem \(\displaystyle{ x=28k+5}\). W ogólności zaś można skorzystać z algorytmu, który jest omówiony tutaj: .

Q.

[nika88]

A taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 3 (mod9)\\ x\equiv 7 (mod11)\end{cases}}\)

Jak go rozwiązać?

[Sylwek]

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+15 \equiv 0 \ (mod \ 9) \\ x+15 \equiv 0 \ (mod \ 11)\end{cases}}\)

Dalej, mam głęboką nadzieję, że dasz radę dokończyć rozwiązanie.

[frej]

proponuję tak:
\(\displaystyle{ 11x \equiv 33 (mod 99)}\)
\(\displaystyle{ 9x \equiv 63 (mod 99)}\)
\(\displaystyle{ 55x \equiv 165 \equiv 66 (mod 99)}\)
\(\displaystyle{ 54x \equiv 378 \equiv 81 (mod 99)}\)
\(\displaystyle{ 55x-54x \equiv 66-81 \equiv -15 \equiv 84 (mod 99)}\)

czyli są to liczby postaci \(\displaystyle{ 99k+84 \quad k Z}\)

[nika88]

Dziękuję bardzo za szybką pomoc