Jak rozwiązać następujące równanie?
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2(n+1)a_{n}-15n-10}\), jeśli \(\displaystyle{ a_{0}=4}\)
Pozdrawiam.
[ Dodano: 16 Czerwca 2008, 19:25 ]
żadnych pomysłów?
Równanie rekurencyjne
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2(n+1)a_{n}-15n-10}\), jeśli \(\displaystyle{ a_{0}=4}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2(n+1)a_{n}-15n-10\\
a_{n}=2na_{n-1}-15n+5\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}=2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{n!}a_{n-1}x^n}+\sum_{n=1}^{\infty}{-\frac{15n}{n!}x^{n}}+5\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}-a_{0}=2x \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{a_{n-1}}{\left( n-1\right)! }x^{n}}-15x\sum{\frac{x^{n-1}}{\left( n-1\right)! }}+5\left( \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{x^n}{n!}} \right)-1 \right)\\
A\left( x\right)-4=2xA\left( x\right)-15xe^{x}+5e^{x}-5\\
A\left( x\right)\left( 1-2x\right)+e^{x}\left( -15x+5\right)-1\\
A\left( x\right)=-\frac{1}{1-2x}+\frac{\left( \frac{15}{2} \left(1-2x \right)- \frac{5}{2} \right) e^{x}}{1-2x}\\
A\left( x\right)=-\frac{1}{1-2x}+ \frac{15}{2}e^{x}-\frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x}}{1-2x}\\
A\left( x\right)=- \sum_{n=0}^{ \infty }{2^{n}\Gamma\left( n+1\right) \cdot \frac{x^n}{n!} }+\frac{15}{2}\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{x^{n}}{n!}}\\-\frac{5}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \sum_{k=0}^{n}{2^{n-k} \cdot \frac{1}{\Gamma\left( k+1\right) } } \right) \cdot \Gamma\left( n+1\right) \cdot \frac{x^n}{n!}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=-2^{n}\Gamma\left( n+1\right)+\frac{15}{2}-\frac{5}{2}\left( \sum_{k=0}^{n}{2^{n-k} \cdot \frac{1}{\Gamma\left( k+1\right) } } \right) \cdot \Gamma\left( n+1\right)\\
a_{n}=-2^{n}\Gamma\left( n+1\right)+\frac{15}{2}-\frac{5}{2} \cdot 2^{n}e^{ \frac{1}{2} }\Gamma\left( n+1, \frac{1}{2} \right)}\)
Przydałoby się jeszcze sprawdzić czy otrzymany wzorek jest poprawny
Gdyby użyć funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}}\)
to trzeba by było rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2(n+1)a_{n}-15n-10\\
a_{n}=2na_{n-1}-15n+5\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}=2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{n!}a_{n-1}x^n}+\sum_{n=1}^{\infty}{-\frac{15n}{n!}x^{n}}+5\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}-a_{0}=2x \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{a_{n-1}}{\left( n-1\right)! }x^{n}}-15x\sum{\frac{x^{n-1}}{\left( n-1\right)! }}+5\left( \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{x^n}{n!}} \right)-1 \right)\\
A\left( x\right)-4=2xA\left( x\right)-15xe^{x}+5e^{x}-5\\
A\left( x\right)\left( 1-2x\right)+e^{x}\left( -15x+5\right)-1\\
A\left( x\right)=-\frac{1}{1-2x}+\frac{\left( \frac{15}{2} \left(1-2x \right)- \frac{5}{2} \right) e^{x}}{1-2x}\\
A\left( x\right)=-\frac{1}{1-2x}+ \frac{15}{2}e^{x}-\frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x}}{1-2x}\\
A\left( x\right)=- \sum_{n=0}^{ \infty }{2^{n}\Gamma\left( n+1\right) \cdot \frac{x^n}{n!} }+\frac{15}{2}\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{x^{n}}{n!}}\\-\frac{5}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \sum_{k=0}^{n}{2^{n-k} \cdot \frac{1}{\Gamma\left( k+1\right) } } \right) \cdot \Gamma\left( n+1\right) \cdot \frac{x^n}{n!}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=-2^{n}\Gamma\left( n+1\right)+\frac{15}{2}-\frac{5}{2}\left( \sum_{k=0}^{n}{2^{n-k} \cdot \frac{1}{\Gamma\left( k+1\right) } } \right) \cdot \Gamma\left( n+1\right)\\
a_{n}=-2^{n}\Gamma\left( n+1\right)+\frac{15}{2}-\frac{5}{2} \cdot 2^{n}e^{ \frac{1}{2} }\Gamma\left( n+1, \frac{1}{2} \right)}\)
Przydałoby się jeszcze sprawdzić czy otrzymany wzorek jest poprawny
Gdyby użyć funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}}\)
to trzeba by było rozwiązać równanie różniczkowe