Dwumian Newtona - zadanie

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Jackpotek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 paź 2005, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Jackpotek »

Witam,
mam problem z zadankiem : oblicz sumę
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n\choose k}}\)

Wiem że wynosi 2^n i nie chodzi mi o rozwiązanie typu : sprowadzenie tego do dwumianu newtona (x+y)^n gdzie x=y=1, tylko o rozwiązanie przez rozwinięcie symboli newtona.

Wielkie dzięki
Pozdrawiam Jacek
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Tomasz Rużycki »

Hm... Taki dowód jest najprostszy:)

Ale można też inaczej. Wiemy, że n-elementowy zbiór ma \(\displaystyle{ 2^n}\) podzbiorów. Zbiór pusty (\(\displaystyle{ n\choose 0}\)), \(\displaystyle{ n\choose 1}\) jednoelementowych, \(\displaystyle{ n\choose 2}\) dwuelementowych itd.... Wystarczy zsumować.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Awatar użytkownika
juzef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 890
Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 66 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: juzef »

Tomasz Rużycki pisze:Wiemy, że n-elementowy zbiór ma 2^n podzbiorów.
Może się mylę, ale to mi wygląda na dowód przez założenie tezy.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Tomasz Rużycki »



Możesz to sobie udowodnić indukcyjnie (twierdzenie o ilości podzbiorów zbioru n-elementowego).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Jackpotek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 paź 2005, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Jackpotek »

Tomasz Rużycki pisze::)

Możesz to sobie udowodnić indukcyjnie (twierdzenie o ilości podzbiorów zbioru n-elementowego).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
ok ale nie chodzi o udowodnienie ale o obliczenie ... bo wynik to ja znam, ale mam to formalnie obliczyć, a jak juz nie chcesz to czy moglbym chociaz udowodnic indukcyjnie ze suma = 2^n ? chociaz bardziej zalezy mi na obliczeniu, Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Tomasz Rużycki »

Dowód nie jest 'formalny'? Najprościej by było tak:


\(\displaystyle{ (1+1)^n=1\cdot {n\choose 0}+1\cdot {n\choose 1} + \ldots + 1\cdot {n\choose n} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + {n\choose 2} + {n\choose 3} + \ldots + {n\choose n}}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Awatar użytkownika
juzef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 890
Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 66 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: juzef »

\(\displaystyle{ {{n+1}\choose {k+1}}={n\choose k}+{n \choose{k+1}}}\), więc \(\displaystyle{ \bigsum_{k=0}^{n+1} {{n+1}\choose{k}}=2\cdot(\bigsum_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}})}\). Teraz możesz skorzystać z indukcji.
Jackpotek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 paź 2005, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Jackpotek »

Muszę z przykrością stwierdzić, że żaden z Was mi nie pomógł.
Mam obliczyć ile to jest :
Suma po k=0 do n z (n po k) a Wy mi mowicie o indukcji. Mam rozwiazać to przechodzac z silni itd., czy na prawde nikt tego nie potrafi ? pamietam ze kiedys w sredniej to robilismy.
juzef wiem ze ten wzor jest prawdziwy ale nie widze do niego zastosowania w obliczaniu tego.
Mam nadzieje ze ktos w koncu pomoze ...
Awatar użytkownika
juzef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 890
Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 66 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: juzef »

\(\displaystyle{ \bigsum_{k=0}^{n+1}%20{{n+1}\choose{k}}=2\cdot(\bigsum_{k=0}^{n}%20{{n}\choose{k}})=4\cdot(\bigsum_{k=0}^{n-1}%20{{n-1}\choose{k}})=...=2^n\cdot (\bigsum_{k=0}^{1}%20{{1}\choose{k}})=2^{n+1}}\). Jeszcze coś nie pasuje?
Awatar użytkownika
DEXiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: DEXiu »

Jackpotek ==> Ty chcesz to rozwiązać przez rozpisywanie s. N. i przekształcania? Nie lepiej to zrobić ze wz. d. N. tak jak to pokazał Tomek R.? Najszybciej, najprościej i najwygodniej
Kupczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 22 maja 2010, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzegom

Dwumian Newtona - zadanie

Post autor: Kupczyk »

Według mnie rozwiązanie Tomka Różyckiego jest najlepsze i najprostsze. Jest też ono podane w odpowiedziach to takiego samego zadania w analizie matematycznej krysickiego.
ODPOWIEDZ