przystawanie modulo, DIV, MOD, NWD, NWW

[Daisyy]

Kompletnie nie rozumiem o co chodzi To było na kolokwium... a ja kompletnie nie wiem jak sie za te zadania zabrać... reszta jakoś idzie ale tych nie mogę... mógłby ktoś tak łopatologicznie wytłumaczyć??

1. Znajdź NWD i NWW liczb 135, 15, 45
2. Oblicz n DIV m oraz n MOD m dla podanych wartości n i m
a) n=31, m=7,
b) n=-31, m=7.

3. Udowodnij , ze \(\displaystyle{ 12|(10^{n}-4) dla n qslant 2}\)
4. udowodnij, ze czterocyfrowa liczba n=abcd jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy gdy jej ostatnia cyfra d jest podzielna przez 5

[Szemek]

4)
\(\displaystyle{ n=1000a+100b+10c+d=5(200a+20b+2c)+d \\
5(200a+20b+2c)+d \equiv d(mod5)}\)

[Wicio]

1)
NWD - największy wspólny dzielnik
Rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze.
Zaznaczamy wspólne czynniki

\(\displaystyle{ 135=5 3 3 3}\)
\(\displaystyle{ 15=5 3}\)
\(\displaystyle{ 45=3 3 5}\)

Wspólne czynniki to:5 i 3 , więc
NWD(135,45,15)=5 * 3=15

NWW-najmniejsza wspólna wielokrotność
Najpierw obliczam NWW dla 15 i 45
\(\displaystyle{ 15=3 5}\)
\(\displaystyle{ 45=3 3 5}\)
NWW tych liczb to iloczyn wszystkich liczb pierwszych z pierwszej liczby i tych co się nie powtarzają z drugiej, czyli
NWW(15,45)=3*5*3=45

Teraz obliczam NWW 45powstałej liczby) i 135
\(\displaystyle{ 45=5 3 3}\)
\(\displaystyle{ 135=5 3 3 3}\)

NWW(15,45,135)=5*3*3*3=135

[Sylwek]

\(\displaystyle{ 10^2 \equiv (-2)^2 \equiv 4 \ (mod \ 12)}\), teraz gdy mamy n parzyste, to:
\(\displaystyle{ 10^{2k} \equiv (10^2)^k \equiv 4^k \ (mod \ 12)}\), wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 4^k \equiv 4 \ (mod \ 12)}\) - poradzisz sobie, a gdy n jest nieparzyste:
\(\displaystyle{ 10^{2k+1} \equiv 10 (10^2)^k \equiv 10 4^k \equiv 10 4 \equiv 4 \ (mod \ 12)}\)

co należało dowieść

[Daisyy]

2. Oblicz n DIV m oraz n MOD m dla podanych wartości n i m
a) n=31, m=7,
b) n=-31, m=7.

Ktore z liczb przystaja do siebie modulo6: 21, 63, 631, 172?


Czy ponizsze zdania sa prawdziwe czy falszywe. odpowiedz uzasadnij
a) \(\displaystyle{ {log_2}n^{73}=O(log_{2}n)}\)
b) \(\displaystyle{ (5n)!=O(n!)}\)
c) \(\displaystyle{ ( \sqrt{n} +1)^{4}=O(n^{2})}\)[/latex]

[Szemek]

2)
\(\displaystyle{ \boxed{ \begin{array}{l} n \hbox{ DIV } m = \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \\
n \hbox{ MOD } m = ft( \frac{n}{m} - n \hbox{ DIV } m \right) m \end{array}}}\)


\(\displaystyle{ 31 \hbox{ DIV } 7 = 4 \\
31 \hbox{ MOD } 7 = 3}\)

\(\displaystyle{ -31 \hbox{ DIV } 7 = -5 \\
-31 \hbox{ MOD } 7 = 4}\)

[Daisyy]

to nie takie trudne.... ale tak to jest jak sie choruje wtedy kiedy nie trzeba ;/ a te jeszcze 2 zadania moglby ktos rozpisac jak dla kogos kto nie umie?? z gory dziekuje

[Szemek]

Czy ponizsze zdania sa prawdziwe czy falszywe. odpowiedz uzasadnij
a) \(\displaystyle{ {log_2}n^{73}=O(log_{2}n)}\)
b) \(\displaystyle{ (5n)!=O(n!)}\)
c) \(\displaystyle{ ( \sqrt{n} +1)^{4}=O(n^{2})}\)[/latex]

a) prawdziwe, \(\displaystyle{ \log_2 n^{73} = 73 \log_2 n = O(\log_2n)}\)
b) fałszywe
c) prawdziwe, \(\displaystyle{ (\sqrt{n}+1)^4 = n^2 + 4n\sqrt{n}+6n+4\sqrt{n}+1 = O(n^2)}\)