Ilosc rozwiazan rownania

[kamil.jack]

Ile jest rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich różnych od 1 równania \(\displaystyle{ x_1 +...+x_k=n}\) dla \(\displaystyle{ n qslant 2k}\)?

[N4RQ5]

O takich zadaniach łatwo się myśli interpretując je jako dzielenie zbioru kulek na k uporządkowanych niepustych grup. Mamy nasze k urn:
|___|___|___|___|___|___|___|___|___|

i chcemy by w każdej były co najmniej 2 kulki zatem początek dzielenia to wrzucenie do każdej 2 kulek
|OO|OO|OO|OO|OO|OO|OO|OO|OO|

Zostało nam n-2k kulek które musimy jakoś rozdzielić. Mamy więc ciąg n-2k kulek między które musimy powtykać k-1 patyczków tak by dzieliły one kulki na k grupek. Ułożenie kulek i patyczków da nam ciąg binarny długości (n-2k)+(k-1)
|OOO||OOO|O|OOO|OOO|O|OO
0 3 0 3 1 3 3 1 2

I wygląd takiego ciągu jest zdeterminowany przez wybór miejsc na patyczki. Takich wyborów mamy \(\displaystyle{ {{n-k-1}\choose{k-1}}}\) Co jest naszym szukanym wynikiem.