Rozmieszczenie kul w komórkach

[kasieńka3]

Niech k=\(\displaystyle{ k _{1} +...+k _{n}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ k_{1} ,..., k_{n} qslant 0}\).Rozmieszczamy k rozróżnialnych kul w n komórkach numerowanych liczbami od 1 do n w taki sposób,że komórka z numerem i-tym zawiera \(\displaystyle{ k_{i}}\) kul,zaś i=1,...,n.
Wykaż,że ilość takich rozmieszczeń wynosi \(\displaystyle{ {k \choose k_{1} k_{2} ... k_{n} } = \frac{k!}{ k_{1}! k_{2}!... k_{n}! }}\)

[Dumel]

Niech k=\(\displaystyle{ k _{1} +...+k _{n}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ k_{1} ,..., k_{n} qslant 0}\).Rozmieszczamy k rozróżnialnych kul w n komórkach numerowanych liczbami od 1 do n w taki sposób,że komórka z numerem i-tym zawiera \(\displaystyle{ k_{i}}\) kul,zaś i=1,...,n.
Wykaż,że ilość takich rozmieszczeń wynosi \(\displaystyle{ {k \choose k_{1} k_{2} ... k_{n} } = \frac{k!}{ k_{1}! k_{2}!... k_{n}! }}\)

do 1. pudełka wybieramy \(\displaystyle{ k_1}\) spośród \(\displaystyle{ k_1+k_2+...+k_n}\) kul, potem do drugiego \(\displaystyle{ k_2}\) spośród pozostałych \(\displaystyle{ k_2+k_3+...+k_n}\) itd... czyli wszystkich kombinacji mamy
\(\displaystyle{ {k_1+k_2+...+k_n \choose k_1}* {k_2+k_3+...+k_n\choose k_2}*...* {k_n \choose k_n}= \frac{(k_1+k_2+...k_n)!*(k_2+k_3+...+k_n)!*...*k_n!}{k_1!k_2!...k_n!*(k_2+k_3+...+k_n)!*(k_3+k_4+...+k_n)!*...*k_n!*0!}= \frac{(k_1+k_2+...+k_n)!}{k_1!k_2!k_3!...k_n!}= \frac{k!}{k_1!k_2!k_3!...k_n!}}\)
tylko nie rozumiem czemu to się równa \(\displaystyle{ {k \choose k_1k_2...k_n}}\)