Podsilnia

[Arek]

Przy szukaniu jakiegoś hasła w encyklopedii matematycznej, znalazłem ciekawe hasło: subfactorial, co w wolnym tłumaczeniu podsilnia znaczy. Hasło wydało mi się ciekawe, bowiem cóż to takiego:

Podsilnią liczby naturalnej n, oznaczenie !n nazywamy liczbę permutacji zbioru n - elementowego takich, że każdy element zbioru zmienia swoje położenie. Jest też podane kilka własności:

1. rekurencyjne:

!n=n*(!(n-1) + (-1)^n)
!(n+1) = n* (!n + !(n-1))

2. związane z n!
1. jeżeli [x] to cecha x, wówczas:

!n=[n!/e]
!n=n!*Suma(k=0,n)[(-1)^k)/k!]

Byłem ciekaw, czy może znacie jakieś inne własności podsilni.

Swoją drogą bardzo ładne zadanie z tym związane (sam je wymyśliłem :

Udowodnić, że lim(n->+inf)[n!/!n]=e

Pozdrawiam

[g]

jak sie cos okresla rekurencyjnie to trzeba jeszcze pierwszy wyraz podac: !1 = 0
a to zadanko twoje to banalne w sumie ale nie bede zdradzal jeszcze niech ludzie pomysla troche jak im sie chce

[Arek]

No wiem , wiem... Ale to mi się oczywiste wydało... zresztą z encyklopedii przepisywałem...
A zadanko banalne jest, ale ujawnia ciekawą własność. Jeżeli będziemy się posługiwać stwierdzeniem:

dla dostatecznie dużych n, iloraz ilości permutacji zbioru n - element. z ilością permutacji n- element., gdzie położenie każdego elementu się zmienia jest porównywalny z e

to brzmi ciekawie...

[g]

gdzie położenie każdego elementu się zmienia

to chyba niezbyt szczesliwe okreslenie. bardziej chodzi o to ze !n okresla ilosc permutacji zbioru {1,...n} takich ze zaden element nie jest na swoim miejscu, i.e. 4 nie jest 4ta w tym ciagu ani n nie jest ostatnie, scislej - dla kazdego k, k nie lezy na k-tym miejscu

[event]

taka permutacja nazywa sie chyba fachowo "nieporzadek"

[Arek]

ja to z amerykańskiej encyklopedii spisywałem i tam "derangement" było...

ale sami wiecie o co chodzi...