zasada wlaczania wylaczania-rownanie

[kamil.jack]

Zasada włączania wyłączania:
ile jest takich możliwych rozwiązań podanego równania, że:
(A)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2007}\)
\(\displaystyle{ x_i \in Z}\)
\(\displaystyle{ x_i \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ x_i \neq 5}\)

(B)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1999}\)
\(\displaystyle{ x_i \in Z}\)
\(\displaystyle{ x_i > 0}\)
\(\displaystyle{ x_i 4}\)

[King James]

Można postawić ogólniejszy problem:

(A) Ile jest rozwiązań równania, że:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_k=n \ \}\) (*)
\(\displaystyle{ x_i \in Z}\)
\(\displaystyle{ x_i \geq 0}\)
\(\displaystyle{ x_i \neq m}\), dla pewnego \(\displaystyle{ m \in \{1,...,n-2\}}\)
\(\displaystyle{ mk \neq n}\)
\(\displaystyle{ n>(k-1)(m+2)}\)

\(\displaystyle{ A}\)- zbiór rozwiązań równania (*) w liczbach całkowitych nieujemnych

\(\displaystyle{ |A|=C^{k-1}_{n+k-1}}\)

\(\displaystyle{ A_i}\)- zbiór rozwiązań równania (*) w których \(\displaystyle{ x_i=m}\)

Gdy\(\displaystyle{ j}\)liczb jest równych \(\displaystyle{ m}\) to liczbą rozwiązań (*) jest liczba rozwiązań równania:

\(\displaystyle{ x_1+...+x_{k-j}=n-jm \ \}\), \(\displaystyle{ k>j}\)

i wynosi \(\displaystyle{ C^{k-j-1}_{n-j(m+1)+k-1}}\)

Ze wzoru włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ |A \backslash ft(A_1 \cup ... \cup A_k\right)|=|A|+\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j}\sum_{1 qslant i_1qslant k}|A_{i_1} \cap ...\cap A_{i_j}|=\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{j}C_{k}^{j}C^{k-j-1}_{n-j(m+1)+k-1}=\boxed{\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{j}{k \choose j}{n-j(m+1)+k-1 \choose k-j-1}}}\)

k=5, m=5, n=2007

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{4}(-1)^{j}{5 \choose j}{2011-6j \choose 4-j}}\)

[kamil.jack]

pieknie

[ Dodano: 23 Maj 2008, 00:19 ]
jak mozna wiedziec to sam to rozkminiles czy mozna jakies wskazowki znalezc w jakiejs ksiazce?
w jakim celu jest warunek: \(\displaystyle{ n>(k-1)(m+2)}\)
[ Dodano: 23 Maj 2008, 01:23 ]

• czy przyklad (B) mozna tak rozumiec jako analogie?:
  
  \(\displaystyle{ A}\)- zbiór rozwiązań równania (*) w liczbach całkowitych DODATNICH
  
  \(\displaystyle{ |A|=C^{k-1}_{n-1}}\)
  
  \(\displaystyle{ A_i}\)- zbiór rozwiązań równania (*) w których \(\displaystyle{ x_i=m}\)
  
  Gdy\(\displaystyle{ j}\)liczb jest równych \(\displaystyle{ m}\) to liczbą rozwiązań (*) jest liczba rozwiązań równania:
  
  \(\displaystyle{ x_1+...+x_{k-j}=n-jm \ \}\), \(\displaystyle{ k>j}\)
  
  i wynosi \(\displaystyle{ C^{k-j-1}_{n-jm-1}}\)
  
  Ze wzoru włączeń i wyłączeń:
  \(\displaystyle{ |A \backslash ft(A_1 \cup ... \cup A_k\right)|=|A|+\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j}\sum_{1 qslant i_1qslant k}|A_{i_1} \cap ...\cap A_{i_j}|=\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{j}C_{k}^{j}C^{k-j-1}_{n-jm-1}=\boxed{\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{j}{k \choose j}{n-jm-1 \choose k-j-1}}}\)
  
  k=5, m=4, n=1999
  
  \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{4}(-1)^{j}{5 \choose j}{1998-4j \choose 4-j}}\)

[King James]

Sam

Warunek \(\displaystyle{ n-j(m+1)+k-1 q k-j-1}\) jest równoważny \(\displaystyle{ n q jm}\) więc wystarczy położyć \(\displaystyle{ n q (k-1)m}\).

czy przyklad (B) mozna tak rozumiec jako analogie?

Tak

[kamil.jack]

a co trzeba zrobic jesli tresc zadania była taka
\(\displaystyle{ x_i 5 x_i 2}\)