Silnia, dwumian Newtona kilka zadanek.

[Vormillion]

Proszę o rozwiązanie tych zadanek.

1. Udowodnij: n*n!=(n+1)!-n!
2. Udowodnij że:
a) k\(\displaystyle{ {n\choose k}}\)=n\(\displaystyle{ {n-1\choose k-1}}\)
b) \(\displaystyle{ {n\choose k}}\)\(\displaystyle{ {k\choose l}}\)=\(\displaystyle{ {n\choose l}}\)\(\displaystyle{ {n-l\choose k-l}}\)
3. Udowodnij:

\(\displaystyle{ \frac{{2\choose 1}+{4\choose 2}+{6\choose 3}+...+{2n\choose n }}{{1\choose 1}+{3\choose 2}+{5\choose 3}+...+{2n-1\choose n }}=2}\)

Skorzystaj z: \(\displaystyle{ {2n\choose n}=2*{2n-1\choose n}}\)
4. W rowzwinięciu potęgi \(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{7}}\) znajdź wyraz wprost proporcjonalny do x
5. Znajdź te wyrazy rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ (\sqrt[5]{3}+\sqrt[7]{2})^{24}}\), które są liczbami całkowitymi
6. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ {10\choose 0}+{10\choose 2}+{10\choose 4}+{10\choose 6}+{10\choose 8}+{10\choose 10}=\\={10\choose 1}+{10\choose 3}+{10\choose 5}+{10\choose 7}+{10\choose 9}}\)


Tak trochu poredagowałem. Lorek

[arecek]

1. \(\displaystyle{ n*n! =(n+1)!-n!}\)
\(\displaystyle{ n*n! =n!*(n+1)-n!}\) / : n!
\(\displaystyle{ n=(n+1)-1}\)
\(\displaystyle{ n=n}\)

2. a)

\(\displaystyle{ k*\frac{n!}{k!(n-k)!} = n*\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-k+1)!}}\)
\(\displaystyle{ k*\frac{n!}{k!(n-k)!} = n*\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\)
\(\displaystyle{ k*\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}\) / (n-1)!*n = n!
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\) / /:k (k-1)!*k = k!
L=P

[RyHoO16]

1.
\(\displaystyle{ n n!= (n+1)!-n! \\
(n+1)!-n!=(n+1)n!-n!=n!(n+1-1)=n n! \\
L=P \\
c.n.d}\)

[Lorek]

3. No skoro jest taka wskazówka to:
\(\displaystyle{ \frac{{2\choose 1}+{4\choose 2}+{6\choose 3}+...+{2n\choose n }}{{1\choose 1}+{3\choose 2}+{5\choose 3}+...+{2n-1\choose n }}=\frac{2{1\choose 1}+2{3\choose 2}+2{5\choose 3}+...+2{2n-1\choose n }}{{1\choose 1}+{3\choose 2}+{5\choose 3}+...+{2n-1\choose n }}=\\=\frac{2\left[{1\choose 1}+{3\choose 2}+{5\choose 3}+...+{2n-1\choose n }\right]}{{1\choose 1}+{3\choose 2}+{5\choose 3}+...+{2n-1\choose n }}=2}\)
6.
\(\displaystyle{ (1-1)^{10}=0\\\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}1^{n-k}\cdot(-1)^k=0\\{10\choose 0}-{10\choose 1}+{10\choose 2}-{10\choose 3}+{10\choose 4}-{10\choose 5}+\\+{10\choose 6}-{10\choose 7}+{10\choose 8}-{10\choose 9}+{10\choose 10}=0}\)
i teraz odpowiednio poprzenosić i żere

[ Dodano: 6 Maj 2008, 15:22 ]
4. Jak wyraz wprost proporcjonalny to postaci ax. Niech \(\displaystyle{ a_k}\) to k-ty wyraz w rozwinięciu tego dwumianu. Oczywiście
\(\displaystyle{ a_k={7\choose k-1}\sqrt[3]{x}^{8-k}\cdot (-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{k-1}=(-1)^{k-1}{7\choose k-1}x^\frac{8-k}{3}\cdot x^{-\frac{k-1}{3}}=a\cdot x^{\frac{9-2k}{3}}}\)
no i mamy mieć ax, czyli musi być \(\displaystyle{ \frac{9-2k}{3}=1\Rightarrow k=3}\)
i szukany wyraz
\(\displaystyle{ a_3={7\choose 2}\sqrt[3]{x}^5\cdot (-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^2={7\choose 2}x}\)
5 dość podobnie
a wskazówka z 3:
\(\displaystyle{ 2{2n-1\choose n}=2\cdot \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}=\frac{2n(2n-1)!}{n(n-1)!n!}=\frac{(2n)!}{n!n!}={2n\choose n}}\)