Rekurencja - wyznaczyć wzór ogólny.

[Hyuuga Neji]

rozwiązując odpowiednie równanie charakterystyczne wyznaczyć wzór ogólny ciągu zadanego zależnością
\(\displaystyle{ x _{n+3}-7 x _{n+2}=8x _{n}-14 x_{n+1}}\)
przy warunkach początkowych \(\displaystyle{ x _{0}=6, x _{1}=20, x_{2}=72}\) zadanie jest chyba łatwe ale nie wiem jak to zacząć

"proste zadanie" nie mówi wiele o treści. Kasia

[King James]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=6\\ x_1=20 \\ x_2=72 \\ x_{n+3}=7x_{n+2}-14x_{n+1}+8x_{n}\end{cases}}\)

Jest to równanie liniowe jednorodne rzędu trzeciego.

Równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ r^3-7r^2+14r-8=0}\)
\(\displaystyle{ (r-1)(r-2)(r-4)=0}\)

\(\displaystyle{ x_n=\alpha+\beta 2^n+\gamma 4^n}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} +\beta+\gamma=6\\ +2\beta+4\gamma=20 \\ +4\beta+16\gamma=72 \end{cases} \ \iff \ \ \begin{cases} =0\\ \beta=2 \\ \gamma=4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x_{n}=2^{n+1}+4^{n+1}}\)

[Hyuuga Neji]

Wielkie dzieki