Zależności rekurencyjne, wyprowadzenie wzoru

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Morfog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 lut 2007, o 13:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

Zależności rekurencyjne, wyprowadzenie wzoru

Post autor: Morfog »

Mam mały problem w zadaniu otóż chodzi o to, że muszę wyprowadzić wzór na $p_n$ ilość permutacji zbioru n - elementowego korzystacjąc z zależności rekurencyjnej :
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l}p_n=p_{n-1}\cdot n}\\{p_0 = 1\end{array}}\)
Robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ {f(x)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!} n^n = \frac{p_0}{0!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_n}{n!} x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n-1}\cdot n}{n\cdot (n-1)!} x^n = 1 + x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n-1}}{(n-1)!} x^{n-1} =}\)

podstawiam \(\displaystyle{ n-1 = m}\)

\(\displaystyle{ = 1 + x \sum_{m=0}^{\infty} \frac{p_m}{m!} x^m = 1 + x\cdot f(x)}\)

Następnie jest coś takiego :

\(\displaystyle{ f(x) = 1 + x f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n}\)
I tu chodzi mi o te dwie ostatnie linijki dlaczego zachodzi to że ta suma równa jest f(x) ?
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Zależności rekurencyjne, wyprowadzenie wzoru

Post autor: JHN »

Na tym forum nie istnieje pojecie "dolarka"
Ale może tutaj....
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ