Mam mały problem w zadaniu otóż chodzi o to, że muszę wyprowadzić wzór na $p_n$ ilość permutacji zbioru n - elementowego korzystacjąc z zależności rekurencyjnej :
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l}p_n=p_{n-1}\cdot n}\\{p_0 = 1\end{array}}\)
Robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ {f(x)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!} n^n = \frac{p_0}{0!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_n}{n!} x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n-1}\cdot n}{n\cdot (n-1)!} x^n = 1 + x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n-1}}{(n-1)!} x^{n-1} =}\)
podstawiam \(\displaystyle{ n-1 = m}\)
\(\displaystyle{ = 1 + x \sum_{m=0}^{\infty} \frac{p_m}{m!} x^m = 1 + x\cdot f(x)}\)
Następnie jest coś takiego :
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + x f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n}\)
I tu chodzi mi o te dwie ostatnie linijki dlaczego zachodzi to że ta suma równa jest f(x) ?