Witam serdecznie ,mam mały problem z funkcjami tworzącymi ;( a dokładniej z 2 zadaniami. Bardzo prosiłbym o pomoc :
1)Niech \(\displaystyle{ A(x)\frac{1}{1-3x+2x^{2}}\) będzie funkcją tworzącą ciągu
\(\displaystyle{ a _{n}}\) ,ngeqslant 0 . Obliczyć \(\displaystyle{ a_{5}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{7}}\) , gdzie \(\displaystyle{ b _{n}}\) , ngeqslant 0 jest ciągiem ,którego funkcją tworzącą jest
\(\displaystyle{ B(x)=A(x) * A(x)}\)
2)Podaj jawną postać n-tego wyrazu ciągu określonego rekurencyjnie wzorami \(\displaystyle{ g _{0}=1 , g _{n}=g _{n-1} + 2g _{n-2} + 3g _{n-3} + ... + ng _{o} n\geqslant 0}\)
Nieco rozwiązywałem zadanie 2) i oto co mi wyszło oczywiście jest niedokończone ;(
\(\displaystyle{ g _{0}=0 , g _{1}=0 , g _{2}=1+2*1=3 , g _{3}=3+2*1+3*1=8 ,
\\
\\
\qquad
\\
G(x)= \sum_{n=0}^{\infty} g _{n}x ^{n}=g _{0}+g _{1}x+g _{2}x ^{2}+g _{3}x ^{3} +...=
1+x+(g _{1}+2g _{0})x ^{2}+(g _{2}+2g _{1}+3g _{0} )x ^{3}+(g _{3}+2g _{2}+3g _{1}+4g _{0})x ^{4}+...=
1+x+ g_{1}x ^{2}+g _{2}x ^{3}+g _{3}x ^{4}+...
+2g _{0}x ^{2}+2g _{1}x ^{3}+2g _{2}x ^{4}+...
+3g _{0}x ^{3}+3g _{1}x ^{4}+... + ... =
\\
\quad
\\
Tu \ nastepuja \ komplikacje
\\
\qquad
\\
1+x+x(g _{1}x+g _{2}x ^{2}+g _{3}x ^{3}+...)+
+2x ^{2}(g _{0}+g _{1}x+g _{2}x ^{2}+...)+
+3x ^{3}(g _{0}+g _{1}x+...)+...+...=
G(x)=1+x+xG(x)+2x ^{2}G(x)+3x ^{3}G(x)+...}\)
A drugiego niestety nawet nie jestem w stanie tknąć ;/
Bardzo prosiłbym o pomoc w ich rozwiązaniu