Zadanie tekstowe z rekurencji

[squeaky]

Pewna cząsteczka porusza się w kierunku poziomym i w każdej sekundzie pokonuje odległość równą podwojonej odległości pokonanej w sekundzie poprzedzającej. Niech \(\displaystyle{ a_{n}}\) oznacza pozycję cząsteczki po \(\displaystyle{ n}\) sekundach. Określić \(\displaystyle{ a_{n}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ a_{0} = 3}\) oraz \(\displaystyle{ a_{3} = 10.}\)

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+2(a_n-a_{n-1})=3a_n-2a_{n-1}\\
a_3=3a_2-2a_1=3(3a_1-2a_0)-2a_1=7a_1-6a_0\\
10=7a_1-18\\
4=a_1}\)
Początkowa prędkość to:
\(\displaystyle{ V=a_1-a_0=4-3=1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+1*2^{n-1} = a_{n-2}+2^{n-2}+2^{n-1} = ... = 3+\Sigma^{n-1}_{0} 2^i = 3+\frac{1-2^n}{1-2} = 3+2^n-1 = 2 + 2^n}\)