Znajdź "n" gdy...

[Jks1]

Witam,
Rozwiązywałem sobie zadania z kombinatoryki i zaciąłem sie na czymś takim:

Znajdź "n", gdy \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\) = \(\displaystyle{ {n\choose 30}}\)

Byłym wdzięczny za rozwiązanie, za wytłumaczenie toku myślowego również

[Brzytwa]

Oczywiście \(\displaystyle{ n qslant 30 \ \ n N}\)

\(\displaystyle{ \frac{n!}{2! (n-2)!} = \frac{n!}{30! (n-30)!}}\)
\(\displaystyle{ 30! (n-30)!} = 2! (n-2)!}}\)
\(\displaystyle{ \frac{30!}{2} = \frac{1 2 ... (n-30) ... (n-2)}{1 2 ... (n-30)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{30!}{2} = (n-29) (n-28) (n-27) ... (n-2)}\)

Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ f(n)=(n-29) (n-28) (n-27) ... (n-2)}\) jest funkcją rosnącą dla \(\displaystyle{ n qslant 30 \ \ n N}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(32)=\frac{30!}{2}}\) co daje nam ostateczne rozwiązanie.

Zapewne też można skorzystać z tożsamości

\(\displaystyle{ {n\choose 2} = {n\choose n-2}}\)

ale trzeba jeszcze ładnie uzasadnić, dlaczego więcej rozwiązań nie będzie (ja bym się powołał na fakt, iż dla ustalonego n, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) może być równa dla conajwyżej 2 różnych k, albo po prostu na trójkąt Pascala, ale nie jestem pewien czy to jest poprawne).

[Jks1]

Wielkie dzięki, zaraz to przestudiuję, jak sam próbowałem to zrobić, to nie mogłem wyjść poza drugi rząd Twoich obliczeń, nawet jeśli to nie wiedziałem "co teraz", jeszcze raz serdeczne dzięki:)

[Xitami]

\(\displaystyle{ {n\choose 2}}\) = \(\displaystyle{ {n\choose 30}}\)

\(\displaystyle{ {n\choose k}}\)=\(\displaystyle{ {n\choose {n-k}}}\)

\(\displaystyle{ n-2=30}\)