Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Bartek_em
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 20 kwie 2008, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: jastrzębie
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Post autor: Bartek_em »

\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-2}-a_{n-4}}\)

dane
\(\displaystyle{ a_{0}=a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=a_{3}=2}\)

nie wiem jak to sprowadzić do rekurencji drugiego rzędu. bo wtedy można skorzystać z równania charakterystycznego \(\displaystyle{ r^{2}=Ar + B}\) i wstawić do wzoru \(\displaystyle{ a_{n}=C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n}}\) licząc po drodze jeszcze C1 i C2

Jedno wyrażenie - jedne klamry nad całością. Kasia
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2008, o 14:41 przez Bartek_em, łącznie zmieniany 2 razy.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Post autor: *Kasia »

A może rozpatrz dwie rekurencje? O wyrazach parzystych i nieparzystych osobno.
Bartek_em
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 20 kwie 2008, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: jastrzębie
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Post autor: Bartek_em »

ale jak.. poza tym te wzory to działają tylko dla rekurencji rzędu drugiego
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}}\). Facet coś wspominał ze to trzeba jakoś sprowadzić do postaci rzędu drugiego. Chyba ze masz inny pomysł to zaproponuj coś jak możesz.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Post autor: *Kasia »

W równaniu charakterystycznym delta jest ujemna, zatem daruję sobie ten sposób.

Rozpatrzmy rekurencję:
\(\displaystyle{ a_1=1\\a_2=2\\a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}}\).
Wypisując pierwsze wyrazy ciągu, zauważamy, że pasowałoby \(\displaystyle{ a_n=n}\). Sprawdzamy, podstawiając do równania. Wszystko się zgadza.

Wracamy do danej rekurencji.

Wyrazy o numerach parzystych.
\(\displaystyle{ a_0=1\\a_2=2\\a_4=3\\...\\a_{2n}=n+1}\)

Wyrazy o numerach nieparzystych.
\(\displaystyle{ a_1=1\\a_3=2\\...\\a_{2n+1}=n+1}\)

Łącząc w całość:
\(\displaystyle{ a_{n}=[\frac{n}{2}]+1}\)
Bartek_em
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 20 kwie 2008, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: jastrzębie
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Post autor: Bartek_em »

aha ale ten wzór np. dla n=1 wyjdzie 1.5 a powinno 1.. chyba ze założymy ze to mają być liczby naturalne wtedy się zgadza.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Rekurencja z podanymi warunkami początkowymi

Post autor: *Kasia »

\(\displaystyle{ [a]}\) -
ODPOWIEDZ