Z cyfr układamy liczby.

[th]

Witam,

Potrzebuję pomocy przy następujących zadaniach z permutacji:

Zd 1. Ile liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5, jeżeli:
a) pierwszą cyfrą jest 5, b) pierwszą cyfrą jest 2 lub 3, c) ostatnia cyfra jest parzysta?
... W a) wyszło mi 24, w b) i c) 48 -- czy zadanie jest rozwiązane poprawnie?

Zd 2. Z cyfr 0,1,2,3,4,5 układamy liczby sześciocyfrowe. Ile otrzymamy liczb sześciocyfrowych, w których cyfry:
a) nie powtarzają się,
b) nie powtarzają się i liczba z nich utworzona jest podzielna przez 4,
c) nie powtarzają się i tworzą liczbę parzystą?
... w pp. a) wiem, że wyjdzie 300, wiem również z czego to wynika, ale mam problemy ze zrozumieniem b) i c)...

Dzięki!

[Dumel]

zadanie pierwsze- wszystkie wyniki poprawne

2c
ostatnią cyfrą musi być 0,2 lub 4, czyli mamy \(\displaystyle{ 3*5!}\), i odejmujemy te kombinacje cyfr w których 0 jest na początku a 2 lub 4 na końcu - \(\displaystyle{ 2*4!}\)

[th]

Kolejne zadanie z permutacji o nast. tresci:

Trzy kule białe, 3 czerwone i 3 zółte _numerujemy_ i ustawiamy _obok_siebie_ tak, aby każde 3 po sobie następujące kule były różnego koloru. Iloma sposobami można ustawić kule?

Numerujemy:

A1 - pierwsza biała
A2 - druga biała
A3 - trzecia biała

B1 - pierwsza czerwona
B2 - druga czerwona
B3 - trzecia czerwona

C1 - pierwsza żółta
C2 - druga żółta
C3 - trzecia żółta

Wzór na ogólną permutację: P_n = n!

Pierwsze ułożenie elementów może wyglądać tak:
A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3

Wyliczam ilość możliwych ułożeń dla każdej z 3 kul:
P_3 = 3! = 6

Czyli, dla wszystkich dzewięciu ponumerowanych elementów możliwości ułożenia będzie 6*6*6*9=1944 ???

Pozdrawiam i dzięki za pomoc w nauce.

[Dumel]

Trzy kule białe, 3 czerwone i 3 zółte _numerujemy_ i ustawiamy _obok_siebie_ tak, aby każde 3 po sobie następujące kule były różnego koloru. Iloma sposobami można ustawić kule?

hmm coś mi tu nie gra (nawet wiem co ). ja to robie tak (rozumiem że kule jednokolorowe są rozróżnialne):
kolor każdej kolenej kuli jest jednoznacznie wyznaczony przez kolory dwóch poprzednich kul, więc uwzględniając tylko kolory mamy \(\displaystyle{ {3 \choose 2}=3}\) możliwe ustawienia.
mając wyznaczone pozycje kul danego koloru przypisujemy im w dowolnej kolejności numery 1,2,3 - \(\displaystyle{ 3!=6}\) możliwych numeracji.
mamy więc
\(\displaystyle{ {3 \choose 2} * (3!)^3 = 648}\) możliwych ustawień