Rzut czterema identycznymi kostkami - liczba wyników.

[*Kasia]

Zadania pochodzi z finału ubiegłorocznego Matmixa. Jednak moja interpretacja różni się od przeciętnej i jestem ciekawa, czy wyszedł mi prawidłowy wynik.

Rzucamy czterema identycznymi kostkami. Ile różnych wyników możemy uzyskać. Nie chodzi mi o sumę oczek, ale o ich rodzaj i liczbę. Czyli np. 1, 2, 4 i 6 jest różne od 1, 3, 4, 5.

Wyszło mi 126, ale chcę sprawdzić wynik (wydaje mi się, że jest dość mały).

[florek177]

Wg mnie są to wariacje z powtórzeniami: \(\displaystyle{ \,\,\ 6^{4}}\)

[*Kasia]

florek177, kostki są nierozróżnialne. Wynik 1, 1, 1 i 2 jest równoważny 1, 2, 1 i 1.

[jovante]

*Kasia, Twój wynik jest poprawny. Konstruując tablicę podobną do poniższej, można znaleźć liczbę różnych wyników rzutów n kostkami w wierszu 6 i kolumnie n+1.

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccccc}1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6\\1&3&6&10&15&21\\1&4&10&20&35&56\\1&5&15&35&70&126\\1&6&21&56&126&252\end{array}}\)

[*Kasia]

jovante, a możesz mi wyjaśnić, dlaczego ta zasada działa?

Ja rozpisywałam po kolei, czyli na ile sposobów można wyrzucić trzy identyczne i jedną inną, dwie pary, etc.

[jovante]

Na wstępie napiszę, że najłatwiej zrozumieć metodę rozpisując sobie poniższy schemat na kartce papieru.

Piszemy sobie liczby od 1 do 6 w jednej kolumnie - oznaczają one różne wyniki rzutów jedną kostką. W jaki sposób otrzymać z tego różne wyniki rzutów dwóch kostek?
Zauważmy, że 1 możemy dopisać do każdej z tych liczb, 2 już tylko do pięciu z nich (2,3,4,5,6), 3 do czterech (3,4,5,6) itd., zaś 6 można dopisać tylko do 6. Łącznie mamy 6+5+4+3+2+1=21 możliwości.
Dysponując wynikami rzutów dla dwóch kostek postępujemy analogicznie dla otrzymania różnych wyników dla trzech kostek i kolejnych. Wszystko ładnie układa się w trójkąt Pascala (lekko "obrócony"), z którego odpowiednich wyrazów (lub sum jak kto woli) odczytujemy wynik.

[*Kasia]

Dzięki. Sprytne i krótsze niż rozpisywanie.

[Rike]

Można też to zrobić stosując wzór na kombinację z powtórzeniami i tak jest chyba najszybciej:
n=6
k=4

\(\displaystyle{ \frac{ ft(6+4-1 \right)! }{ ft( 4\right)! ft(6-1 \right)! } = \frac{6 7 8 9}{1 2 3 4}=126}\)