Na ile sposobów można ustawić na półce 6 książek...

[3bit]

Prosze powiedzcie mi jak zrobić takie zadanie, prosiłbym z wytłumaczeniem z góry dzięki.

Na ile sposobów można ustawić na półce 6 książek tak, aby 2 wybrane stały obok siebie ?

[unikat900]

Wyobraź sobie \(\displaystyle{ 6}\) książek i pustą półkę w której znajduje się \(\displaystyle{ 6}\) wolnych miejsc. Gdyby te książki można było ułożyć dowolnie:
pierwszą książkę możesz włożyć w jedno z \(\displaystyle{ 6}\) miejsc, drugą w jedno z \(\displaystyle{ 5}\), trzecią w jedno z \(\displaystyle{ 4}\) miejsc itd. Masz więc \(\displaystyle{ 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6!}\) możliwości.
Dwie książki muszą jednak stać obok siebie więc to tak jakbyś związał je tasmą i potraktował jako jedną. Na półce masz teraz nie \(\displaystyle{ 6}\), ale \(\displaystyle{ 5}\) wolnych miejsc (ta związana książka zajmuje tak jakby 2 miejsca), więc masz \(\displaystyle{ 5!}\) możliwości.
Prościej się tego chyba wyjaśnić nie da .

[3bit]

No ok tyle to ja też wiem, ale teraz pozostaje pytanie, czy jest uwzględniony wybór tych dwóch książek.

Moim zdaniem to ma być tak:

1) Wybieramy dwie kandydatki do sklejenia(kombinacje bez powtórzeń, bo ma być spełniony tylko warunek przylegania książek, więc w jakiej kolejności przylegają jest nie ważne):

\(\displaystyle{ C = {6 \choose 2} = 15}\)

2) Następnie liczymy ustawienie sklejonych książek(wybranej pary) wraz z pozostałymi(permutacje bez powtórzeń):

\(\displaystyle{ P = 5! = 120}\)

3) Tak więc wszystkich możliwych kombinacji ustawień książek jest \(\displaystyle{ P*C = 15*120 = 1800}\)

[july04]

Mam pytanie uzupełniające do tego zadania. Na ile sposobów można ustawić książki, jeżeli warunkiem jest aby tom I i tom II nie stały obok siebie?

[Janusz Tracz]

Dwie książki muszą jednak stać obok siebie więc to tak jakbyś związał je tasmą i potraktował jako jedną. Na półce masz teraz nie 6, ale 5 wolnych miejsc (ta związana książka zajmuje tak jakby 2 miejsca), więc masz \(\displaystyle{ 5!}\) możliwości.
Prościej się tego chyba wyjaśnić nie da .

Ale te związane taśmą książki można jeszcze obrócić wszak mają stać obok siebie a nie w wybranej kolejności obok siebie bo jeśli wybierzemy \(\displaystyle{ \text{Nad Niemnem}}\) oraz \(\displaystyle{ \text{Harry Potter}}\) to mamy \(\displaystyle{ 2!}\) możliwych ich ustawień \(\displaystyle{ \text{Nad Niemnem, Harry Potter}}\) i odwrotnie \(\displaystyle{ \text{Harry Potter, Nad Niemnem}}\). Zatem dla \(\displaystyle{ 2}\) wybranych książek mamy \(\displaystyle{ 5!}\) możliwości permutowania książek i związanej dwójki oraz \(\displaystyle{ 2!}\) permutowania ów związanej dwójki czyli \(\displaystyle{ 5! \cdot 2!}\) możliwości.

3) Tak więc wszystkich możliwych kombinacji ustawień książek jest \(\displaystyle{ P \cdot C=1800}\)

Ale \(\displaystyle{ 1800>6!}\) zatem wyszło Ci więcej możliwości ustawień książek przy narzucanych warunkach niż wszystkich możliwych ustawień. Błąd polega na tym, że zliczasz wielokrotnie te same ustawienia. To, że wybraliśmy jakieś dwie książki

\(\displaystyle{ C = {6 \choose 2} = 15}\)

nie oznacza, że jakieś inne dwie nie stoją w kolejności którą potem zliczysz. Zatem powielasz taką kolejność. W sensie niech jeden z tych \(\displaystyle{ 15}\) wyborów to będzie właśnie \(\displaystyle{ \text{Harry Potter, Nad Niemnem}}\) a potem stoi \(\displaystyle{ \text{Lalka, Pies który jeździł koleją}}\) i to zliczasz a potem innym z tych \(\displaystyle{ 15}\) wyborów jest właśnie para \(\displaystyle{ \text{Lalka, Pies który jeździł koleją}}\) którą zliczasz ale ona już byłą zliczona. W ogóle pytanie gdzie mówimy o dowolnych dwóch książkach stojących obok siebie ma moim zdaniem mało sensu bo zawsze jakieś dwie stoją koło siebie. Zatem mowa tu raczej o dwóch konkretnie wybranych.

Mam pytanie uzupełniające do tego zadania. Na ile sposobów można ustawić książki, jeżeli warunkiem jest aby tom I i tom II nie stały obok siebie?

Policz wszystkie możliwości ustawień oraz takie w których tom \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) stoją koło siebie a następnie odejmij te liczby.

PS Nie zauważyłem, że to jest z \(\displaystyle{ 2008}\) roku.

[july04]

Zamiast otwierać nowy watek postanowiłem uzupełnić właśnie ten

[a4karo]

W końcu w tekście zadania stoi wyraźnie" aby dwie WYBRANE stały koło siebie