Mam problem z pewnym zadaniem.
Mamy 10 różnych par butów (każda para inna, no i buty lewy i prawy). Wrzucamy je do jednego worka. Następnie wyjmujemy jeden po drugim do ostatniego i ustawiamy po dwa tj. pierwszy wyciągnięty z drugim wyciągniętym, trzeci z czwartym itd.
Teraz pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po wyciągnięciu będziemy mieli jakąś parę (np. wyciągnięte przez na trzeci i czwarty to czerwony lewy i czerwony prawy). Nie ma różnicy kolejność tzn. czy najpierw stoi lewy czy prawy.
Na pierwszy rzut oka wydaje się proste, bo myśli się, że najpierw jeden z 20, do tego jeden z 19 i mamy pierwszą parę, potem 1 z 18 a dalej... dalej jest problem bo nie nie możemy powiedzieć że jeden z 17 bo ten jeden mógł już pójść w poprzedniej parze.
Podobno zadziała tutaj zasada włączeń i wyłączeń. Jak ją zastosować?
10 par butów - z zasady włączeń i wyłączeń
-
wojteczkus
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 2 kwie 2008, o 22:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 1 raz
-
jovante
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
10 par butów - z zasady włączeń i wyłączeń
Rzeczywiście działa tutaj zasada włączeń i wyłączeń. Przejdę od razu do przypadku ogólnego (n oznacza liczbę par butów).
1) Jeżeli zakładamy, że buty stojące na miejscach \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ i+1}\) dla \(\displaystyle{ i \{1, \ldots ,2n-1\}}\) mogą tworzyć parę, to
\(\displaystyle{ p=\frac{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{n \choose k}2^k(2n-k)!}{(2n)!}}\)
Dla n=10 prawdopodobieństwo, że znajdziemy chociaż jedną parę wynosi:
\(\displaystyle{ p=\frac{1561097837563080000}{2432902008176640000} 0.64}\)
2) Jeżeli zakładamy, że tylko buty stojące na miejscach \(\displaystyle{ 2i-1}\) i \(\displaystyle{ 2i}\) dla \(\displaystyle{ i \{1, \ldots ,n\}}\) mogą tworzyć parę, to
\(\displaystyle{ p=\frac{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{n \choose k}^22^k(2n-2k)!k!}{(2n)!}}\)
Dla n=10 prawdopodobieństwo, że znajdziemy chociaż jedną parę wynosi teraz:
\(\displaystyle{ p=\frac{994480762473677000}{2432902008176640000} 0.41}\)
Miałeś na myśli zapewne drugi z rozpatrywanych przypadków.
1) Jeżeli zakładamy, że buty stojące na miejscach \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ i+1}\) dla \(\displaystyle{ i \{1, \ldots ,2n-1\}}\) mogą tworzyć parę, to
\(\displaystyle{ p=\frac{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{n \choose k}2^k(2n-k)!}{(2n)!}}\)
Dla n=10 prawdopodobieństwo, że znajdziemy chociaż jedną parę wynosi:
\(\displaystyle{ p=\frac{1561097837563080000}{2432902008176640000} 0.64}\)
2) Jeżeli zakładamy, że tylko buty stojące na miejscach \(\displaystyle{ 2i-1}\) i \(\displaystyle{ 2i}\) dla \(\displaystyle{ i \{1, \ldots ,n\}}\) mogą tworzyć parę, to
\(\displaystyle{ p=\frac{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{n \choose k}^22^k(2n-2k)!k!}{(2n)!}}\)
Dla n=10 prawdopodobieństwo, że znajdziemy chociaż jedną parę wynosi teraz:
\(\displaystyle{ p=\frac{994480762473677000}{2432902008176640000} 0.41}\)
Miałeś na myśli zapewne drugi z rozpatrywanych przypadków.
-
wojteczkus
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 2 kwie 2008, o 22:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 1 raz
10 par butów - z zasady włączeń i wyłączeń
Dzięki wielkie za pomoc w sumie można gdzieś na serwisie poczytać o zasadzie włączeń i wyłączeń? Chciałbym bardziej zgłębić o co w tym chodzi - teraz w sumie to tak na czuja kapuje.