Wykaz, ze średnia wartosc minimum k- elementowego podzbioru X={1, 2....,n}, wynosi
dla k \(\displaystyle{ \frac{n+1}{k+1}}\)
srednie minimum
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
srednie minimum
Nie znam się na kombinatoryce, ale wydaje mi się, że to będzie tak, że najpierw wybieramy jako minimum 1 i sprawdzamy, ile możemy wybrać kombinacji bez powtórzeń z pozostałych elementów zbioru. Potem bierzemy 2 i liczymy ile kombinacji z wyższych elementów itd. Tworzymy sumę wartość minimum razy ilość kombinacji z nim związanych i dzielimy przez ilość wszystkich kombinacji.:
\(\displaystyle{ \overline{min} = \frac{\sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i \choose k-1}}{ }}\)
Na razie nie umiem tego policzyć, ale sprawdzałem dla paru przypadków i działa.
[ Dodano: 29 Marca 2008, 14:05 ]
Mam, można indukcyjnie to zrobić. Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i \choose k-1} = {n+1 \choose k+1} \\
\sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i \choose k-1} = \sum_{i=1}^{n-k+1} i\left( {n-i-1 \choose k-2} + {n-i-1 \choose k-1}\right) = \sum_{i=1}^{n-k} i {n-i-1 \choose k-1} + (n-k+1) {k-2 \choose k-1} + \sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i-1\choose k-1} = {n \choose k+1} + + (n-k+1) {k-2 \choose k-1} = {n+1 \choose k+1} \\
Bo: \\
{k-2 \choose k-1} = 0}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \overline{min} = \frac{{n+1 \choose k+1}}{{n \choose k}} = \frac{n+1}{k+1}}\)
\(\displaystyle{ \overline{min} = \frac{\sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i \choose k-1}}{ }}\)
Na razie nie umiem tego policzyć, ale sprawdzałem dla paru przypadków i działa.
[ Dodano: 29 Marca 2008, 14:05 ]
Mam, można indukcyjnie to zrobić. Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i \choose k-1} = {n+1 \choose k+1} \\
\sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i \choose k-1} = \sum_{i=1}^{n-k+1} i\left( {n-i-1 \choose k-2} + {n-i-1 \choose k-1}\right) = \sum_{i=1}^{n-k} i {n-i-1 \choose k-1} + (n-k+1) {k-2 \choose k-1} + \sum_{i=1}^{n-k+1} i {n-i-1\choose k-1} = {n \choose k+1} + + (n-k+1) {k-2 \choose k-1} = {n+1 \choose k+1} \\
Bo: \\
{k-2 \choose k-1} = 0}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \overline{min} = \frac{{n+1 \choose k+1}}{{n \choose k}} = \frac{n+1}{k+1}}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
srednie minimum
Albo tak...Okrag o \(\displaystyle{ n+1}\) dzielimy na łuki jednostkowe, Sposrod punktow podzialu losowo wybramy \(\displaystyle{ k+1}\) punktow, ze wzgledu na symetrie srednia dlugosc powstalych lukow wynosi
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{k+1}}\). Jesli rozetnie sie okrag w \(\displaystyle{ k+1}\) w wybranych punktow, a potem rozwinie sie go na osi ox , tak by punkt przeciecia stał w zerze, to wybrane losowo k punktóe rozłozy sie na l .naturalne z przedzilau , Srednia wartosc najmniejszej z nich bedzie to srednia dlugosc luku pomiedzy punktami \(\displaystyle{ k+1}\) i 1, tj \(\displaystyle{ \frac{n+1}{k+1}}\).
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{k+1}}\). Jesli rozetnie sie okrag w \(\displaystyle{ k+1}\) w wybranych punktow, a potem rozwinie sie go na osi ox , tak by punkt przeciecia stał w zerze, to wybrane losowo k punktóe rozłozy sie na l .naturalne z przedzilau , Srednia wartosc najmniejszej z nich bedzie to srednia dlugosc luku pomiedzy punktami \(\displaystyle{ k+1}\) i 1, tj \(\displaystyle{ \frac{n+1}{k+1}}\).