prosze o pomoc z pierwszym zadaniem ze strony:
... erskie.htm
wiem ze na pewno ta suma jest < od 2^2005 i strzelalabym ze jest > 2^2004 ale jak to sprawdzic?
z gory dzieki
zad z symbolu newtona
-
liu
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
zad z symbolu newtona
Oznaczmy nasza szukana sume przez S. Wiemy, ze
\(\displaystyle{ 2^{2005}={2005 \choose 0} + {2005 \choose 1 } + s + {2005 \choose 2005} =}\)
\(\displaystyle{ = S + {2005 \choose 1004} + s + {2005 \choose 2005} =}\)
\(\displaystyle{ = S + {2005 \choose 0} + {2005 \choose 1} + s + {2005 \choose 1001} =}\)
\(\displaystyle{ = S + S - {2005 \choose 1002} - {2005 \choose 1003}}\)
Finalnie mamy \(\displaystyle{ 2S = 2^{2005} + {2005 \choose 1002} + {2005 \choose 1003}}\), skad juz bezproblemowo sobie policzymy. Po drodze korzystalismy z faktu, ze \(\displaystyle{ \Bigsum_{k=0}^n = 2^n}\) oraz \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\).
\(\displaystyle{ 2^{2005}={2005 \choose 0} + {2005 \choose 1 } + s + {2005 \choose 2005} =}\)
\(\displaystyle{ = S + {2005 \choose 1004} + s + {2005 \choose 2005} =}\)
\(\displaystyle{ = S + {2005 \choose 0} + {2005 \choose 1} + s + {2005 \choose 1001} =}\)
\(\displaystyle{ = S + S - {2005 \choose 1002} - {2005 \choose 1003}}\)
Finalnie mamy \(\displaystyle{ 2S = 2^{2005} + {2005 \choose 1002} + {2005 \choose 1003}}\), skad juz bezproblemowo sobie policzymy. Po drodze korzystalismy z faktu, ze \(\displaystyle{ \Bigsum_{k=0}^n = 2^n}\) oraz \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\).