Funkcja Eulera

[flake]

Oblicz wartosc funkcji Eulera dla n równego: a) 37; b) 243; c) 333; d) 10!; e) 1001;
f) 46189.


w punkcie a) mamy liczbe pierwsza, wiec wynik jest rowny p-1 (czyli 36), ale jak rozpisac reszte przykladow?

[Szemek]

Wartość dla liczb pierwszych:
\(\displaystyle{ \varphi(p)=p-1}\)
Wartość dla liczb względnie pierwszych:
\(\displaystyle{ \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)}\)
Wartość dla potęg liczb pierwszych:
\(\displaystyle{ \varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1} = p^{k - 1}\cdot(p - 1)}\)

b)
\(\displaystyle{ 243=3^5}\)
\(\displaystyle{ \varphi(3^5)=3^5-3^4=3^4(3-1)=2 3^4 = 162}\)

c) \(\displaystyle{ \varphi(333)=\varphi(37) \varphi(3^2) = 36 (3^2-3) = 36 6 = 216}\)

d)
\(\displaystyle{ 10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 2^8 3^4 5^2 7}\)
\(\displaystyle{ \varphi(10!) = \varphi(2^8) \varphi(3^4) \varphi (5^2) \varphi(7) = (2^8-2^7) (3^4-3^3) (5^2-5) 6 = 128 54 20 6 = 829440}\)

e) \(\displaystyle{ \varphi (1001) = \varphi(7) \varphi(11) \varphi(13) = 6 10 12 = 720}\)

f) \(\displaystyle{ \varphi(46189) = \varphi(11) \varphi(13) \varphi(17) \varphi(19) = 10 12 16 18 = 34560}\)