Uzasadnij tożsamość krok po kroku
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11376
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Uzasadnij tożsamość krok po kroku
\(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^n}\)
\(\displaystyle{ s=f^{\prime}(1)}\)
\(\displaystyle{ s=f^{\prime}(1)}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11376
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Uzasadnij tożsamość krok po kroku
A po co tu pochodne angażować , ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k} \\ S=\sum_{k=1}^{n}k {n\choose k}=\sum_{k=0}^{n}k {n\choose k} \\ \begin{cases}S=0 {n \choose 0} + 1 {n \choose 1} + \ldots + n {n \choose n} \\ S=n {n \choose 0} + (n-1) {n \choose 1} + \ldots + 0 {n \choose n} \end{cases} \\ 2S=(0+n) {n \choose 0} + (1+(n-1)) {n \choose 1} + \ldots + (n+0) {n \choose n}=n \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}}\)
Ale z rozwinięcia dwumianu Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}=(1+1)^n=2^n}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 2S=n 2^n \\ S=n 2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k} \\ S=\sum_{k=1}^{n}k {n\choose k}=\sum_{k=0}^{n}k {n\choose k} \\ \begin{cases}S=0 {n \choose 0} + 1 {n \choose 1} + \ldots + n {n \choose n} \\ S=n {n \choose 0} + (n-1) {n \choose 1} + \ldots + 0 {n \choose n} \end{cases} \\ 2S=(0+n) {n \choose 0} + (1+(n-1)) {n \choose 1} + \ldots + (n+0) {n \choose n}=n \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}}\)
Ale z rozwinięcia dwumianu Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}=(1+1)^n=2^n}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 2S=n 2^n \\ S=n 2^{n-1}}\)