hej, mam problem z takim zadaniem :
n rozróznialnych kul umieszczono w n komórkach. Jaka jest szansa ze dokladnie jedna komórka zostanie pusta?
dzieki z góry za rozwiazanie;)
o kulach w komórkach :)
-
sigma_algebra1
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
o kulach w komórkach :)
n kul , n komórek i wszystko rozróżanialne.
wiec :
komórkę pustą można wybrac na n sposobów, teraz zostaje n-1 komórek i n kul, więc w jednej komórce będą dwie kule w pozostałych po jednej, teraz komórkę w której będą dwie kule można wybrać na n-1 sposobów, dwie kule które będą razem na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposoby, a resztę kul można rozmieścić na (n-2)! sposobów czyli razem mamy:
\(\displaystyle{ n(n-1) {n \choose 2}(n-2)! = {n \choose 2} n!}\)
Jak widać można więc rozmumować również w ten sposób (choć wydaje się mniej intuicyjny) n kul rozróżnialnych można rozmieścić w n komórkach tak, żeby w każdej cos było na n! sposobów, teraz wystarczy wybrac 2 komórki na \(\displaystyle{ 2 {n \choose 2}}\) sposobów, z których jedna będzie pusta a jedna będzie miała dwie kule, i przełożyć kulę z komórki do komórki czyli ta dwójka się zredukuje, bo przy każdym ustawieniu kul w innych komórkach kolejność tych dwóch kulek w wybranych komórkach rozmieszczonych na poczatku jest bez znaczenia.
wiec :
komórkę pustą można wybrac na n sposobów, teraz zostaje n-1 komórek i n kul, więc w jednej komórce będą dwie kule w pozostałych po jednej, teraz komórkę w której będą dwie kule można wybrać na n-1 sposobów, dwie kule które będą razem na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposoby, a resztę kul można rozmieścić na (n-2)! sposobów czyli razem mamy:
\(\displaystyle{ n(n-1) {n \choose 2}(n-2)! = {n \choose 2} n!}\)
Jak widać można więc rozmumować również w ten sposób (choć wydaje się mniej intuicyjny) n kul rozróżnialnych można rozmieścić w n komórkach tak, żeby w każdej cos było na n! sposobów, teraz wystarczy wybrac 2 komórki na \(\displaystyle{ 2 {n \choose 2}}\) sposobów, z których jedna będzie pusta a jedna będzie miała dwie kule, i przełożyć kulę z komórki do komórki czyli ta dwójka się zredukuje, bo przy każdym ustawieniu kul w innych komórkach kolejność tych dwóch kulek w wybranych komórkach rozmieszczonych na poczatku jest bez znaczenia.