Ze zbioru liczb {1, 2, 3, ..., 2n+5}, gdzie \(\displaystyle{ n N}\), wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić tak, aby otrzymać dwie liczby takie że
a)ich różnica będzie liczbą parzystą
b)suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez 4.
Na ile sposobów...
-
UNIX_admin
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 6 maja 2006, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 32 razy
Na ile sposobów...
wskazowka:
mamy n-1 liczb parzystych i n+1 nieparzystych
roznica liczb jest parzysta, jesli obie liczby sa parzyste lub obie sa nieparzyste
suma 2 liczb jest podzielna przez 4 jesli:
- obie sa podzieln przez 4 lub obie daja reszte 2
- jedna daje reszte 1 a druga 3
kwadraty liczb parzystych sa zawsze podzielne przez 4 i ni istnieje liczba, ktorej kwadrat daje podzielony przez 4 daje reszte 2 (to chyba oczywiste)
istnieja kwadraty postaci 4n+1
ale czy moze istniec kwadrat postaci 4n+3? czyli 4n-1? gdyby istnial, to musialaby istniec licznba naturalna i nieparzysta wieksza od \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n}-1}\) i mniejsza od \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n}+1}\)
mamy n-1 liczb parzystych i n+1 nieparzystych
roznica liczb jest parzysta, jesli obie liczby sa parzyste lub obie sa nieparzyste
suma 2 liczb jest podzielna przez 4 jesli:
- obie sa podzieln przez 4 lub obie daja reszte 2
- jedna daje reszte 1 a druga 3
kwadraty liczb parzystych sa zawsze podzielne przez 4 i ni istnieje liczba, ktorej kwadrat daje podzielony przez 4 daje reszte 2 (to chyba oczywiste)
istnieja kwadraty postaci 4n+1
ale czy moze istniec kwadrat postaci 4n+3? czyli 4n-1? gdyby istnial, to musialaby istniec licznba naturalna i nieparzysta wieksza od \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n}-1}\) i mniejsza od \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n}+1}\)