Kartka podzielona na osiem części.

Noegrus · Post autor: **Noegrus** » 17 lut 2008, o 16:46

Na ile sposobów można zamalować kartkę podzieloną na osiem części, z których dowolne dwie nie są jednakowe, używając czterech kolorów tak, aby cztery ustalone części były w jednym z tych kolorów, a cztery pozostałe części mogły być zamalowane w dowolny sposób jednym z trzech pozostałych kolorów.

Robię tak: losuję sobie cztery części z ośmiu, mnożę przez cztery możliwe kolory i następnie mnożę przez cztery po cztery i przez trzy.
\(\displaystyle{ {8\choose 4}*4*{4\choose 4}*3=840}\)

Coś jednak jest źle (całe rozumowanie?), dlatego proszę aby ktoś na to spojrzał i troszku wytłumaczył.
Pozdrawiam

kinwotar · Post autor: **kinwotar** » 17 lut 2008, o 19:19

hmm wybierasz 4 z 8 i malujesz na zielony a reszte na czerwony, potem np moze sie zdarzyc ze wybierzesz wszystkie 4 ktore pomalowales na czerwono malujesz je znowu na czerwono a reszte na zielono, czyli odpowiedzi sie pokrywają wydaje mi sie ze trzeba to podzielic przez 2 i bedzie gitara. jaka jest prawidlowa odpowiedz?

Noegrus · Post autor: **Noegrus** » 17 lut 2008, o 19:25

Zadanie jest ze zbioru Pazdro, odpowiedź to 324. Robiłem w lewo, prawo, górę i dół ale nijak ten wynik nie wychodzi.
A części kartki różnią się, należy to brać pod uwagę.

kinwotar · Post autor: **kinwotar** » 17 lut 2008, o 19:33

tzn wiem ze sie roznia przypuscmy ze zamiast 4 z 8 wybierasz 1 z 2 i zamiast 4 kolorow masz 2 kolory wg twojego rozwiazania bedzie:

\(\displaystyle{ {2 \choose 1}2 {1 \choose 1}1=4}\) a są tylko dwa takie sposoby.

problem powstaje w momencie ze najpierw wybierasz element a i malujesz go na zielono a potem na czerwono zas element b na drugi kolor po czym robisz drugi wybor i wybierasz b ktory malujesz na zielono i na czerwono.

jak narazie innego bledu nie jestem w stanie zobaczyc jak przyjdzie mi cos do glowy to napisze ale wydaje mi sie ze poprawna odpowiedz to 420. moze ktos inny bedzie miec jeszcze jakis pomysl.

Qń · Post autor: Qń » 17 lut 2008, o 19:53

Cztery ustalone części są ustalone, więc ich już nie wybieramy, wybieramy tylko kolor na jaki mamy je pomalować (na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby). Natomiast pozostałe cztery części nie muszą być pomalowane na ten sam kolor, ale w dowolne kolory, byle różne od tego pierwszego - możliwości jest więc \(\displaystyle{ 3^4}\) (przy każdej części \(\displaystyle{ 3}\) możliwości). W sumie więc wynik to \(\displaystyle{ 4 3^4 = 324}\).

Q.

Noegrus · Post autor: **Noegrus** » 17 lut 2008, o 19:55

Myślałem, że drugą część rozpatruje się jako 'jedność', ale jeśli nie, to rzeczywiście dobrze wychodzi, dzięki Qń i dzięki kinwotar