Kilka ciekawych problemów z kombinatoryki

[kriss024]

Witam serdecznie wszystkich czytających tego posta. Otóż jestem studentem informatki i otrzymałem kilka zadań do rozwiązania, niestety nie do końca wiem jak je "ugryźć". Zadania nie są zbyt skomplikowane rachunków ale liczby się pomysł, którego jeszcze nie mam, ale może ktoś z was ma i się zemną podzieli. Oto one.

---------------------------------------------------------

1. Na ile sposobów można obdarować 8 dzieci 36 cukierkami tak aby rozdać wszystkie cukierki,
nie pozostawiając żadnego z dzieci bez cukierków i tak aby każde dziecko miało parzystą liczbę cukierków.

2. W turnieju wzięło udział 9 szachistów. Rozegrano pewną liczbę spotkań singlowych, w których żadna para graczy nie bierze udziału więcej niż raz.
Należy wykazać że bez względu na liczbę rozegranych spotkań wśród zawodników jest co najmniej dwóch takich, którzy rozegrali tyle samo spotkań w tym turnieju.

3. W gonitwie bierze udział 4 psy ponumerowane kolejnymi liczbami od 1 do 4.
Na ile sposobów może zakończyć się gonitwa tak aby żaden z psów nie zajął miejsca zgodnego ze swoim numerem.

4. Ile jest permutacji słowa MATEMATYKA w których przynajmniej jedna z grup liter występuje więcej niż jeden raz w tym słowie i stoi obok siebie.

5. Na ile sposobów można ułożyć w ciąg 4 jednakowe kule zielone, 4 jednakowe kule żółte i 5 kul ponumerowanych.

6. W pewnym klubie trenuje 5 takich samych bokserów. Klub planuje rozgrywki ligowe w sezonie, w którym musi rozegrać 8 spotkań z innymi klubami. Na ile sposobów można zaplanować rozgrywki w tym sezonie jeśli w każdym meczu trzeba wystawić jedną parę bokserską?

7. Na ile sposobów można rozdzielić 6 ponumerowanych procesów pomiędzy 4 jednakowe procesory tak, aby żaden z procesorów nie był obciążany więcej niż 3 procesami?
Rozdzielić trzeba wszystkie procesy, żaden z procesorów nie może pozostać bezczynny i każdy proces będzie wykonywany na jednym procesorze.

8. Na ile sposobów można zaplanować wykonanie 5 różnych urządzeń na 3 stanowiskach pracy, tak aby żaden z nich nie pozostało bezczynne?
Plan musi podawać dla każdego urządzania numer stanowiska i określić w jakije kolejności urządzania będą składane na każdym stanowisku.

9 Na ile sposobów można przydzielić 5 ponumerowanych procesorów do wykonania na 3 ponumerowane procesory, jeżeli procesy są wykonywane przez procesor zawsze w całości i należy określić kolejność wykonywania procesów dla procesora, któremu przydzielono więcej niż jeden proces.

10. Do pracy zgłosiło się 22 tłumaczy. 13tu z nich znało język francuski, 14 znało włoski, język niemiecki znało tyle samo co francuski i włoski jednocześnie, 6 z tłumaczy znało francuski i niemiecki a 4 z tłumaczy znało język włoski i niemiecki ale nie znało francuskiego.
Ilu tłumaczy nie znało ani jednego z wymienionych języków?

[Nooe]

3. moc omegi P4!= 24
moc A = 9
p(A)9/24

[Xitami]

1. mnie wychodzi, że 116280, ale to chyba zbyt wiele

[mol_ksiazkowy]

3. W gonitwie bierze udział 4 psy ponumerowane kolejnymi liczbami od 1 do 4.
Na ile sposobów może zakończyć się gonitwa tak aby żaden z psów nie zajął miejsca zgodnego ze swoim numerem.

tak, gdyz Jest dziewiec takich permutacji :
2 1 4 3
2 4 1 3
2 3 4 1

3 1 4 2
3 4 1 2
3 4 2 1

4 1 2 3
4 3 1 2
4 3 2 1

[kinwotar]

1. zadanie sprowadza sie do modyfikacji równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_8=36}\) gdzie \(\displaystyle{ x_n>0}\)
skoro kazde dziecko ma mieć parzystą liczbę cukierków więc jednostką podstawową robimy 2 cukierki. skoro dwa cukierki są jednostką podstawową więc mamy 18 jednostek czyli ogolnie wychodzi cos takiego:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_8=18}\) gdzie \(\displaystyle{ x_n>0}\)

rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ {{18-1} \choose {8-1}}= {17 \choose 7}}\)

z5 w sumie jest 4+4+5=13 kul czyli:
\(\displaystyle{ \frac{13!}{4!4!}}\)