Dwumian Newtona

[Aguskaq]

1. Wyznacz:
a) trzynasty wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^{20}}\);
b) siódmy wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ (2x - \frac{1}{4})^{10}}\).

2. Wiadomo, że suma współczynników drugiego i trzeciego wyrazu rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ (x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{n}}\) \(\displaystyle{ (x\neq 0)}\) wynosi 325. Wyznacz siedemnasty wyraz tego rozwinięcia. Rozważ dwa przypadki.

[mms]

1, Wyznacz:
a) trzymasty wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^{20}}\)

\(\displaystyle{ a_{13}={20\choose 12} 3^{\frac{20-12}{2}} 3^{-\frac{12}{4}}}\)

[belferkaijuz]

Korzystamy z dwumianu Newtona :\(\displaystyle{ (a+b)^n= {n \choose 0}a^n \cdot b^0+ {n \choose 1}a^{n-1} \cdot b^1 + ... +{n \choose n} \cdot a^{n-n} \cdot b^n}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1= {n \choose 0}a^n \\ a_2= {n \choose 1}a^{n-1}b^1\\.\\.\\.\\a_k= {n \choose {k-1}}a^{n-(k-1)}b^{k-1} \end{cases}}\)
więc
\(\displaystyle{ a_{13}= {n \choose {12}} \cdot a^{n-12} \cdot b^{12}}\)
w Twoim zad.jest:

\(\displaystyle{ (3^{ \frac{1}{2}}+3^{ \frac{-1}{4}})^{20}}\)
stąd
\(\displaystyle{ a_{13}= {20 \choose 12} \cdot (3^{ \frac{1}{2} })^8 \cdot (3^{ \frac{-1}{4}})^{12}= \frac{20!}{8! \cdot (12)!} \cdot 3}\)

to już dokończysz ,a w zad.b) \(\displaystyle{ ((2x)+(- \frac{1}{4}))^{10}}\)
dalej jak wyżej.ZAd.c)-podobnie.