Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

[Finarfin]

Mam takie zadanie:

Czy te dwa systemy algebraiczne są izomorficzne:

\(\displaystyle{ A= (Q,+, ) \\
B= (Q, , +)}\)

[Qń]

Oczywiście nie - gdyby istniał izomorfizm \(\displaystyle{ h}\), to byłoby:
\(\displaystyle{ h(x+y)=h(x) h(y) \\
h(x y) = h(x) +h (y)}\)
Podstawiając w pierwszej równości \(\displaystyle{ y=0}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ h(0)=1}\), podstawiając w drugiej równości \(\displaystyle{ x=y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1=2}\), czyli sprzeczność.

Q.

[Finarfin]

Qń, jakoś nie do końca mogę to "zobaczyć". Otóż nie mamy żadnego odwzorowania tych systemów(przynajmniej podanego w treści), co prawda przy dowolnych podstawieniach wychodziło mi, że izomorfizm nie istnieje, to jednak przedstawione rozwiązanie nie jest dla mnie do końca zrozumiałe.

Mógłbyś to bardziej rozpisać? W sensie bardziej łopatologicznym, bo nie do końca to rozumiem.

[Qń]

Systemy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje izomorfizm między nimi. Założenie o istnieniu takiego izomorfizmu doprowadziło do sprzeczności, zatem ów izomorfizm nie istnieje, czyli systemy nie są izomorficzne. Nie wiem co tu jest niejasnego.

Q.

[Finarfin]

To rozumiem, chodzi mi o to podstawienie za y=0, że h(0)=1. Tego nie czaję...

Mam nadzieję, że teraz rozumiesz o co dokładnie mi chodzi

[Qń]

Szczerze mówiąc nie wiem czego nie rozumiesz. Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że \(\displaystyle{ h(0)=1}\)?

Q.

[Finarfin]

Qń, no chodziło właśnie o to skąd h(0)=1, jednak poprzyglądałem się dokładnie temu wszystkiemu no i wiem, że to jest punkt konieczny istnienia izomorfizmu. A więc teraz już wszystko jasne, dzięki za pomoc!

[Sir George]

Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że h(0)=1?

Prawdę mówiąc ja też nie rozumiem, dlaczego to tak wprost wynika? Tj. dlaczego opuszczasz tak bezkarnie drugie rozwiązanie, tj. \(\displaystyle{ h(0)=0}\)?

[ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:20 ]
Moim zdaniem lepiej jest podstawić \(\displaystyle{ x,y=1}\) do drugiego równania, skąd otrzymuje się od razu (jedyne!) rozwiązanie \(\displaystyle{ h(1)=0}\). wstawiając ponownie \(\displaystyle{ x,y=1}\) do pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ h(2)=h(1)^2=0=h(1)}\) co daje sprzeczność z różnowartościowością izomorfizmu...

[ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:24 ]
Aha, chyba rozumiem... otrzymujesz r-nie \(\displaystyle{ h(x)=h(x)\cdot h(0)}\), które ma być prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) (które nota bene nie mogą być wszystkie przeciwobrazem 0). Stąd \(\displaystyle{ h(0)=1}\)


...ale i tak myślę, że mój sposób jest prostszy...

[Qń]

Mamy (dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)) \(\displaystyle{ h(x)=h(x) h(0)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest w szczególności bijekcją, to znajdziemy \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ h(x) 0}\) (tak naprawdę, to znajdziemy ich dzikie mnóstwo, bo tylko dla jednej liczby nasz izomorfizm może przyjąć wartość zero), a stąd \(\displaystyle{ h(0)=1}\).

Zarówno powyższej równości, jak nieistnienia rzeczonego izomorfizmu można dowodzić na wiele sposobów (choć wszystkie w jakimś sensie są "wariacją na temat"). Identycznym argumentem jest na przykład taki, że z drugiej równości wynika, że \(\displaystyle{ h(0)=0}\), a wówczas z pierwszej równości wynika, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), czyli sprzeczność.

Q.