Funkcje tworzące i wzór jawny ciągu rekurencyjnego.

[swpr]

Witam Państwa,

mam cztery zadanka, których rozwiązanie ułatwiło by mi bardzo naukę rekurencji. Pożytek byłby o tyle większy, że prawdopodobnie będą one daniem głównym na najbliższym kolokwium . Jeżeli byłoby to możliwe, poprosiłbym o podanie rozwiązan tych zadań z krótkim komentarzem. Dziękuję i podaję zadanka

1. Za pomocą funkcji tworzących znajdź wzór jawny na n-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie w następujący sposób:

\(\displaystyle{ a_{n} = 6_{n} + a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n qslant 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{0} = 0}\)

[ Dodano: 29 Stycznia 2008, 20:24 ]
Przyznam, że jestem całkowicie ciemny z tego (może mógłby ktoś polecić jakieś materiały w sieci na ten temat). Na podstawie mojej wiedzy doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ a_{1} = 6*1+a_{0}}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = 6*2+a_{1} = 6*2+6*1+a_{0}}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = 6*3+a_{2} = 6*3+6*2+6*1+a_{0}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ a_{n} = (6 * a_{n}) + (6 * 3) + (6 * 2) + (6 * 1) + (a_{0})}\)

Czy mogę prosić o jakieś dalsze wskazówki ?

pozdrawiam

[loirid]

pewnie nieaktualne ale to bedzie tak (sorry ze bez latex'a)

funkcja tworzaca
A(X) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ....

a0 = 0
F(n) = 6*n + F(n-1)

zatem
a(n) = 6*n + a(n-1)

A(X) = 0 + (6*1 + a0)x + ... + (6*n + a(n-1))x^n
A(X) = 6x(1 + 2x + 3(x^2) + ... + n(x^(n+1) + ...) + x (a0 + a1*x +a2*x^2 + ...)
zauwazmy ze drugi czlon to x * A(X)
1 czlon to
6x * (1 + 2x + 3(x^2)+ .... ) = 6x * ( (1-x)^(-2) ) = {*}
teraz
A(X)- x*A(X) = {*}
A(X) ( 1-x ) = {*}
A(X) = 6x / (1-x)^3 //zmienilem * na i jednoczesnie znak potegi

(1-x)^(-3) = (n+1)(n+2) / 2 ale ze mamy jeszcze 6*x zatem kazde n staje sie n-1 wiec mamy
6 * n*(n+1)/2 = 3 * n * (n+1)

F(n) = 3*n*(n+1)

dlaczego te wzory sa takie to jest troche skomplikowane ale generalnie rzecz biorac to jest ich kilka i nie sa takie trudne [/latex]