Udowodnić tożsamość kombinatoryczną:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} k(n+1-k)={n+2\choose 3}}\)
Wiem co zrobić z prawą stroną ale nie wiem co z lewą...
udowodnić tozsamość
-
gabriela86
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 18 sty 2008, o 00:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tak
- Podziękował: 1 raz
udowodnić tozsamość
Ostatnio zmieniony 21 sty 2008, o 21:11 przez gabriela86, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnić tozsamość
Rozumiem, że chodzi o dowód kombinatoryczny.
Po prawej stronie oczywiście mamy ilość możliwych wyborów 3 spośród n+2 osób. Pokażemy, że po lewej też. Załóżmy, że n+2 osób stoi w rzędzie i spytajmy: ile jest możliwości, że osoba o numerze k+1 będzie środkową z trójki wybranych? Przed nią stoi k osób, za nią stoi n-k+1 osób, a skoro musimy wybrać jedną co stoi przed i jedną co stoi za, to takich wyborów jest k(n-k+1). Pozostaje zauważyć, że środkowa osoba może mieć numer (tzn. miejsce w kolejce) od 2 do n+1, zatem k zmienia się od 1 do n, w takich granicach trzeba więc przesumować poprzednie wyrażenie (u Ciebie przy sumie jest pomyłka w nazwach zmiennych).
Pozdrawiam.
Qń.
Po prawej stronie oczywiście mamy ilość możliwych wyborów 3 spośród n+2 osób. Pokażemy, że po lewej też. Załóżmy, że n+2 osób stoi w rzędzie i spytajmy: ile jest możliwości, że osoba o numerze k+1 będzie środkową z trójki wybranych? Przed nią stoi k osób, za nią stoi n-k+1 osób, a skoro musimy wybrać jedną co stoi przed i jedną co stoi za, to takich wyborów jest k(n-k+1). Pozostaje zauważyć, że środkowa osoba może mieć numer (tzn. miejsce w kolejce) od 2 do n+1, zatem k zmienia się od 1 do n, w takich granicach trzeba więc przesumować poprzednie wyrażenie (u Ciebie przy sumie jest pomyłka w nazwach zmiennych).
Pozdrawiam.
Qń.