Rekurencja linowa...

[pawelekk]

Witam mam pewne zadanko do rozwiązania. Jeśli mógłby mi ktoś to rozwiązać i wytłumaczyć, co skąd sie wzięło yl bym bardzo wdzięczny....

treść zadania:

Wyznaczyć postać zwartą ze względu na n rekurencji liniowej:

\(\displaystyle{ a _{0}=0 , a_{1}=1, a_{n}= a_{n-1} - 2a_{n-2}}\)

Z góry dziękuję za pomoc w rozwiązaniu....

[adek05]

Sorki, ale czy na pewno dobrze przepisałeś przykład, bo równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych, a ja tego w liczbach zespolonych raczej nie rozwiążę

[Xitami]

(Sloane's )

[pawelekk]

sry juz poprawilem napisane bylo aa=1 a mialo byc a1 =1 .

[bosz]

to jest rownanie roznicowe liniowe jednorodne o stalych wspolczynnikach.

najpierw szukasz rozwiazan postaci \(\displaystyle{ a_{n}= z^{n}}\)
a potem tworzysz kombinacje liniowa otrzymanych roziwazan.
wynika stad ze :
\(\displaystyle{ a_{n}= z^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n-1}= \frac{z^{n} }{z}}\)
\(\displaystyle{ a_{n-2}= \frac{z^{n} }{{z}^{2}}}\)

wstawiasz to do Twojego rownania

i dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ z^{n-2}}\) i masz



\(\displaystyle{ z^2 = z-2}\)
czyli
\(\displaystyle{ z^2 - z + 2 = 0}\)
z tego wyliczasz \(\displaystyle{ z}\)

lecz równanie nie ma rzeczywistych piwerwiastkow i na tym zatrzymal sie Xitami

masz dwa wyjscia - liczyc dalej na liczbach zespolonych, albo znalezc inna postac..
trygonometryczna..