Dwumian Newtona i Trójkąt Pascala

[Gizmiatko]

Witam jestem nowa

Mam problem ze zorbieniem 2 zadan W ogole nie wiem jak je ruszyc moze ktos by umial cos na nie poradzic?


Podaj wzór na tzw. dwumian Newtona. Wyprowadź z niego wzór na liczbę wszystkich
podzbiorów zbioru n-elementowego.
Oblicz liczbę wszystkich ciągów zerojedynkowych o długości n. Wynik wykorzystaj do
uzasadnienia wzoru na liczbę wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego.


oraz

Podaj i uzasadnij (na dwa sposoby: algebraicznie, oraz kombinatorycznie) wzór
tłumaczący (uzasadniający) symetrię trójkąta Pascala.
Podaj i uzasadnij (algebraicznie) wzór pozwalający uzyskać wyrazy rzędu o numerze
n+1 trójkąta Pascala, gdy dany jest rząd o numerze n.

Według mojego nauczyciela te zadania sa trywialne niestety nie dla mnie
bardzo brosze o pomoc

[UNIX_admin]

liczba wszystkich podzbiorow zbioru n-elementowego to suma liczby podzbiorow 0-elementowych, 1-elementowych, 2-elem., ...., n-1-elem. oraz n-elementowych, a zatem suma \(\displaystyle{ {n \choose 0} + {n \choose 1} + ... + {n \choose n-1} + {n \choose n}}\)

wyobraz sobie, ze kazdemu z tych n elementow przypisujesz cyfre 0 lub 1, moxzna to zrobic na \(\displaystyle{ 2^n}\) sposobow. teraz dla kazdego z tych ustawien, niech elementy, ktorym przypisano 1 tworza podzbior zbioru n-elementowego. widac wiec, ze wszystkich podzbiorow zbioru n-elementowego bedzie \(\displaystyle{ 2^n}\), a co za tym idzie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}=2^n}\)


co do drugiej czesci:

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)
k zmienia sie od 0 do n, tak wiec wybierajac dowolne k dostajemy (n-k), ktore rowniez nalezy do 1..n, kiedy nastepnie wybierzemy (n-k) dostaniemy (n-(n-k))=k.

inaczej:
wybierajac dowolny podzbior (k-elem.) zbioru n-elementowego dostajemy dopelnienie (n-k)-elementowe i na odwrot wybierajac podzbior (n-k)-elementowy dodtajemy dopelnienie k-elementowe.
Wiec np na pytanie ile jest podzbiorow k-elementowych zbioru n-elementowego mozna odpowiedziec: tyle ile podzbiorow (n-k)-elementowych zbioru n-elementowego. stad wlasnei ta symetria.

co do ostanniej czesci pytania, to w trojkacie pascaladowolny wyraz jest suma dwoch lezacych bezposrednio nad nim.

[kinwotar]

\(\displaystyle{ {n \choose k} = {{k+l} \choose k}= \frac{(k+l)!}{k!l!}= {n \choose l}}\) n!}{k!(n-k+1)!}= \frac{n!(n+1}{k!(n-k+1)!} =\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}= {{n+1} \choose k}[/latex]

[Gizmiatko]

dziekuje slicznie za odpowiedz:)

a czy mozecie mi wytłumaczyc odpowiedz na to pytanie tak jak chlop babie na granicy ?

Podaj i uzasadnij (algebraicznie) wzór pozwalający uzyskać wyrazy rzędu o numerze
n+1 trójkąta Pascala, gdy dany jest rząd o numerze n.

[kinwotar]

hmm no dowód algebraicznie napisałem Ci w poście wyżej. \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) gdzie n to jest nr rzędu w trójkącie paskala a k to nr wyrazu w rzędzie.
0......................1
1....................1 . 1
2..................1 . 2 . 1
3...............1 . 3 . 3 . 1
4.............1 . 4 . 6 . 4 . 1
5..........1 . 5. 10. 10 . 5 . 1
6.......1 . 6 . 15. 20 . 15 . 6 . 1

bierzesz sobie dwa elementy z tego trójkąta które są kolo siebie w jednym rzędzie i wyraz pod nimi na środku to jest suma tych właśnie dwóch. algebraicznie udowodnione w poście wyżej. pozdrawiam

[UNIX_admin]

intuicyjnie mozna to tak wytlumaczyc: mamy zbior n-elementowy i wiemy ile jest podzbiorow k-elementowych tego zbioru dla k=1,2,..n;
dodajemy jeden element (nazwijmy go x) do zbioru n-elem. otrzymujac tym samym zbior (n+1)-elementowy. chcemy teraz wyznaczyc ile jest podzbiorow k=1,2,..n,n+1 elementowych tego zbioru.

dla przykladu policzmy ile jest podzbiorow i-elementowych zbioru (n+1)-elementowego:
wezmy wiec wszystkie podzbiory (i-1)-elementowe zb. n-elementowego i dodajmy do nich element x, otrzymamy wowczas podzbiory i-elementowe zbioru (n+1)-elementowego;
nastepnie wezmy wszystkie podzbiory i-elementowe zb. n-elementowego, sa one tez podzbiorami zbioru (n+1) elementowego (tylko nie zawierajacymi elementu x)

Tak wiec suma tych dwoch podzbiorow to i-elementowy podzbior zb. (n+1)-elementowego

[Gizmiatko]

dobra dziekuje slicznie pomimo waszych starań, niestety nie zorzumialam
ale przepisze to wszystko i zoabczymy co mi koles powie na zadanie

tzn cały trojkat i dwod na trojkat z trudnoscia ale łapie niestety tego n+1 nie za bardzo dla mnie to jest czarna magia