Duża porcja zadań

[warriorek]

Witam! Bardzo proszę o pomoc z tymi zadaniami, z góry dzięki

1. Wykaż, że wśród \(\displaystyle{ n+1}\) liczb całkowitych zawsze można znaleźć dwie, których różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).
2. Spośród liczb \(\displaystyle{ 1,2,3,...,199,200}\) wybrano \(\displaystyle{ 201}\) liczb. Wykaż, że wśród wybranych liczb istnieją dwie takie, że jedna dzieli drugą.
3. Wykaż, że dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ n}\) istnieje liczba zapisana tylko przy pomocy zer i jedynek, która dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\).
4. Uzasadnij, że spośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) zawsze można wybrać dwie, których różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\).
5. Na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) leży dziewięć różnych punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów, są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) .
6. W kwadracie o boku długości \(\displaystyle{ 2}\) leży pięć punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów, są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) .
7. Spośród liczb: \(\displaystyle{ 1,2,3,...,199,200}\) wybrano \(\displaystyle{ 101}\) liczb. Dowieść, że wśród wybranych liczb są dwie kolejne liczby.
8. Dany jest zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ 101,102,103,...,9999,10000}\). Ile jest wśród nich liczb, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) lub przez \(\displaystyle{ 6}\) lub przez \(\displaystyle{ 48}\).
9. Na ile sposobów można utworzyć \(\displaystyle{ 3}\) jedenastki piłkarskie spośród \(\displaystyle{ 33}\) zawodników?
10. Ile jest \(\displaystyle{ n-cyfrowych}\) liczb, których suma cyfr równa jest \(\displaystyle{ 2}\)?
11. Ile jest \(\displaystyle{ 6-ciocyfrowych}\) liczb, których suma cyfr jest równa \(\displaystyle{ 3}\)?
12. Ile jest liczb \(\displaystyle{ n-cyfrowych}\), których suma cyfr jest równa \(\displaystyle{ 3}\)?
13. Iloma sposobami można ustawić w koło \(\displaystyle{ n}\) osób?
14. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 12 * {n \choose 1} + {n + 4 \choose 2} = 162}\).
15. Bez rozwijania potęgi \(\displaystyle{ (3+2 x ^{2} ) ^{9}}\) wyznacz siódmy wyraz rozwinięcia.
16. Ile jest liczb naturalnych podzielnych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 2,3 i 5}\) w przedziale: \(\displaystyle{ (0;901), (0;1001), (16;1219)}\)? Odp. \(\displaystyle{ A)240, B)266, C)321}\).
17. Ile liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ 1000}\) nie dzieli się przez żadną z liczb \(\displaystyle{ 2,3,5,7}\)?
18. Niech \(\displaystyle{ P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}}\) oraz \(\displaystyle{ Q={A,B,C,D}}\). Ile jest numerów rejestracyjnych składających się z trzech cyfr i dwóch liter zakładając, że zarówno litery jak i cyfry mogą się powtarzać.
19. Z talii \(\displaystyle{ 52}\) kart losujemy \(\displaystyle{ 6}\) kart. Na ile sposobów wśród tych \(\displaystyle{ 6}\) kart może znaleźć się trójka (trzy karty tej samej "wartości", różnych kolorów)?
20. Wiedząc, że człowiek ma na głowie nie więcej niż \(\displaystyle{ 500}\) tysięcy włosów, wykaż, że w mieście liczącym \(\displaystyle{ 700}\) tysięcy mieszkańców, są co najmniej dwie osoby o takiej samej liczbie włosów na głowie.

[Szemek]

Zadanie 14.

\(\displaystyle{ n\in N_+}\)
\(\displaystyle{ 12 {n \choose 1} + {n + 4 \choose 2} = 162}\)
\(\displaystyle{ 12n + \frac{(n+3)(n+4)}{2} = 162}\)
\(\displaystyle{ 24n+n^2+7n+12=324}\)
\(\displaystyle{ n^2+31n-312=0}\)
\(\displaystyle{ (n-8)(n+39)=0}\)
\(\displaystyle{ n=8}\)

[kinwotar]

z9
zakładam że tworząc jedenastke nie jest istotne na jakiej pozycji gra jaki zawodnik tylko ważny jest że gra z 10 konkretnymi innymi zawodnikami.
\(\displaystyle{ \frac{33!}{11!^33!}}\)
a jeżeli ważne są też pozycje graczy no to będzie \(\displaystyle{ \frac{33!}{3!}}\)
z11
na pierwszym miejscu musi być liczba większa od 0

\(\displaystyle{ (x_1+1)+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=2}\)

kombinacja z powtórzeniami \(\displaystyle{ {{6+2-1} \choose 2}=21}\)

z10
jak wyżej \(\displaystyle{ {(n+1-1) \choose 1}=n}\)
z12
\(\displaystyle{ {{n+2-1} \choose 2}= {{n+1} \choose 2}}\)
z13
jak stoją w szeregu to n! a jak polaczysz koniec z poczatkiem to musisz podzielic przez n czyli ilosc powtórzen danej permutacji
\(\displaystyle{ (n-1)!}\)
z15.
Jest taki wzór:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}}\)
z18.
\(\displaystyle{ 9^3 4^2}\)
z20.
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=4069

[Madame]

zad. 7

To też jest z zasady szufladkowej Dirichleta. Ponieważ jednak trudno mi to jakoś "odwzorować" to zrobię opisowo.

Wybierasz 101 liczb, czyli więcej niż połowę. Jeżeli chcesz wybrać połowę, to, żeby nie stały obok siebie, wybierasz co drugą. To krok pierwszy. Wybrałeś te 100 z 200. I masz taki ciąg wybrana, niewybrana, wybrana, niewybrana... I musisz teraz wybrać jeszcze jedną, żeby było 101, czyli siłą rzeczy zapełniasz tę "dziurę", gdzie jest niewybrana, czyli w pewnym miejscu zostały wybrane trzy kolejne. CKD

zad 19

Zawsze są 4 karty tej samej wartości, a tych wartości jest 2,3,4,5,6,7,8,9,10, walety, damy, króle, asy = 13.
Najpierw losujemy wartość czyli C 1 z 13, potem trzy z czterech tej wartości C 3 z 4, następnie pozostałe 3 karty z tych, które nie są daną wartością: C 3 z 48
Podsumowując:

C 1 z 13 * C 4 z 4 * C 3 z 48

zad 4


Liczby całkowite niepodzielne przez 5 są postaci: 5k +1, 5k +2, 5k +3, 5k +4, 5k + 6 ...itd... /k e C)
Niech zostanie tych pięć początkowych.

To weźmy sobie dwie np. 5k + 6 - (5k +1) = 5
dalaj analogicznie CKD


PS Przepraszam, że nie używam Letexu, ale nie umiem. Ale się uczę

[kinwotar]

Madame w zadaniu 19. wtedy liczysz podwójnie możliwości jak są dwie trójki i nie liczysz możliwości że będą 4 karty o tej samej wartości
\(\displaystyle{ 13 {48 \choose 2}}\) jedna czwórka i dwie jakies inne karty
\(\displaystyle{ \frac{13 {4 \choose 3} 12 {4 \choose 3} }{2!}}\) tyle jest możliwości ze będą 2 trójki wylosowane ostatecznie:

\(\displaystyle{ 13 {4 \choose 3} {48 \choose 3}+ 13 {48 \choose 2}- \frac{13 {4 \choose 3} 12 {4 \choose 3} }{2}}\)

[Madame]

A możesz napisać jeszcze raz, co masz na myśli, ale w postaci kombinacji, bez symbolu Newtona? Bo myślę, że masz rację.


A...już sobie rozpisałam na C i widzę co masz na myśli, ale czy w zadaniu nie ma założenia, że trójka może być tylko jedna i żadnych czwórek?

[kinwotar]

jeżeli jest, to Twój wzór tez nie spełnia zadania bo generuje podwójnie kombinacje że są dwie trójki ;> ale jak dla mnie nie ma takiego założenia ;]

[Madame]

Myślę, że masz rację.

[Piotr Rutkowski]

1)Dirichlet
2)Dirichlet
3)Dirichlet
...
7)Dirichlet
Jak będziesz miał kłopoty ze zrobieniem ich z Dirichleta to pisz

[Madame]

z9
zakładam że tworząc jedenastke nie jest istotne na jakiej pozycji gra jaki zawodnik tylko ważny jest że gra z 10 konkretnymi innymi zawodnikami.
frac{33!}{11!^33!}

To jeszcze pytanie: dlaczego wychodzi Ci, że w mianowniku, gdzie jest (11!) jest jeszcze 3!?

Mnie wychodzi tak:
Wybieram pierwsza jedenastkę: C 11 z 33, wybieram drugą C 11 z 22, do ostatniej siłą rzeczy zostaje 11 gości, czyli:

C 11 z 33 * C 11 z 22 * 1 = 33!/ (11!)^3

[kinwotar]

bo nie istotna jest kolejnosc 3 grup. powiedzmy ze kazdy zawodnik ma nr czyli są numery od 1 do 33. w pierwszym wyborze wybrałbym np pierwszych 11 potem od 12 do 22.
potem znowu iles razy wybieram zawodnikow i wreszcie w pierwszym wyborze wybieram od 12 do 22 a w drugim np od 1 do 11. powstaje taka sama opcja.

[Madame]

ale żaden z zawodników nie ma numeru, mamy tylko ich liczbę.
Kombinacja z definicji wyklucza kolejność, jest tylko ilość.

Chyba przesadziłeś z tym 3!. Nie wiem, ale wydaje mi się, że jak już stosujesz kombinację, a nie wariację, to przecież od razu zakładasz, że kolejność 3 grup jest nieważna.

Pozdrawiam
Magdalena

[kinwotar]

ale kombinacje stosujesz tylko do wyboru zawodnikow, jak wymnazasz jedna kombinacje przez druga to uwzgledniasz jednoczesnie kolejnosc. nie chodzi o kolejnosc zawodnikow w druzynie tylko o kolejnosc druzyn. przykladowo masz 3 zawodnikow i masz ich podzielic na 3 druzyny jednoosobowe, zgodnie z twoim schematem to jest: \(\displaystyle{ {3 \choose 1} {2 \choose 1}=6}\) a istnieje tylko jeden taki podzial.

[Madame]

Nie chodzi o kolejność grup tylko o ich rozróżnialność.

[kinwotar]

żal... zapraszam do przestudiowania jakiejś mądrej książki i dalszą dyskusje uważam za bezcelową.