ciąg 10 literowy

[kinwotar]

Na ile sposobów można utworzyć ciąg 10-literowy, mając do dyspozycji cztery litery a, cztery b, cztery c i cztery d. Zauważmy że każda litera może występowac max 4 razy.

Prawidłowa odpowiedź to 722400.

[arek1357]

Najpierw zobacz ile ma rozwiązań równanie:

x + y + z + t = 10

gdzie każda niewiadoma może przybierać wartości od 0 do 4

[kinwotar]

nie wiem jak to policzyć co napisałeś, ale wydaje mi się że to nie jest dobry trop. czemu mam liczyć kombinacją skoro tu jest ważna kolejność? jeżeli potrafisz to wytłumacz mi ten sposób.

[arek1357]

\(\displaystyle{ \sum_{x+y+z+t=10}\frac{10!}{x!y!z!t!}}\)

najpierw sobie wybierasz kulki tak żeby było ich razem 10 a potem ustawiasz je w ciąg
permutacje z powtórzeniami...

[kinwotar]

4 4 2 0 \(\displaystyle{ 12\frac{10!}{4!4!2!}}\)
4 4 1 1 \(\displaystyle{ 6\frac{10!}{4!4!}}\)
4 3 3 0 \(\displaystyle{ 12\frac{10!}{4!3!3!}}\)
3 3 2 2 \(\displaystyle{ 6\frac{10!}{3!3!2!2!}}\)
4 3 2 1 \(\displaystyle{ 24\frac{10!}{4!3!2!}}\)
4 2 2 2 \(\displaystyle{ 4\frac{10!}{4!2!2!2!}}\)
3 3 3 1 \(\displaystyle{ 4\frac{10!}{3!3!3!}}\)
Suma tych wyrazów to wynik końcowy.
Dzięki za posty, bo jesteś jedyną osobą która stara się mi pomóc, jednak liczyłem na jakiś mniej "brutalny" sposób rozwiązania tego zadania. Obstawiam że jest jakiś prostszy bo narazie wszystkie zadania z tej książki mogłem policzyć maxymalnie w dwóch linijkach ;>
Pozdrawiam

[scyth]

można użyć funkcji tworzących:
... rz%C4%85ce

[arek1357]

no ilość rozwiązań takiego równania o którym pisałem to:

\(\displaystyle{ coeff(x^{10})}\) gdzie

\(\displaystyle{ f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})^{4}}\)