Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

[dawido000]

Pięć ponumerowanych kul umieszczamy losowo w czterech różnokolorowych pudełkach. Ile jest możliwych rozmieszczeń tych kul, jeżeli:
a) każda kula może znaleźć się w dowolnym pudełku,
b) kule mogą się znaleźć tylko w dwóch pudełkach?

prosiłbym o krótkie objaśnienie, znam takie pojęcia jak permutacja, wariacje z i bez oraz kombinacja, potrafię je stosować, ale nie w tym przypadku

[*Kasia]

Ad a

\(\displaystyle{ 4^5}\)
Pierwsza kula na cztery sposoby, druga na cztery sposoby, ...

Ad b
\(\displaystyle{ C^2_4\cdot (2^5-2)}\)
Na \(\displaystyle{ C^2_4}\) sposobów wybieramy dwa pudełka. Potem rozkładamy na \(\displaystyle{ 2^5}\) sposobów kule w tych dwóch pudełkach; odejmujemy od tego dwie sytuacje, kiedy kule znajdą się w jednym pudełku.

[KotwButach]

Rozwiązanie jest jasne. Jednak czy ktoś potrafi wytłumaczyć mi, dlaczego mój tok rozumowania jest błędny:

Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek. Ma na to 12 możliwości (\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) opcji). Następnie pomiędzy te dwa pudełka rozmieszcza pozostałe 3 kule (\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 2}\) możliwych rozmieszczeń). Razem \(\displaystyle{ 12 \cdot 8 = 96}\). Ten wynik jest zły, tylko dlaczego?

[mm34639]

Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek. Ma na to 12 możliwości (\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) opcji)

W jaki sposób je rozmieszczasz? Skąd to \(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\)?

[KotwButach]

Pierwszą kulę mogę umieścić w jednym z 4 pudełek. Drugą, zakładając, że będzie w innym, już tylko w 3. Skąd 3*4.

[mat_61]

Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek. Ma na to 12 możliwości (\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) opcji)

Twoje rozumowanie jest od początku niepoprawne. Napisałeś tak:

Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek.

Ale które to są kule i które pudełka?
Przecież jeżeli chcesz włożyć kule do wybranego pudełka to musisz najpierw tą kulę wybrać spośród pięciu. To co napisałeś to tak naprawdę tylko wybór dwóch pudełek i to jeszcze w sytuacji gdy miałaby się liczyć kolejność ich wyboru. Gdybyś miał rozmieścić tylko 2 kule (z pięciu) w dwóch pudełkach (z czterech), to samych kombinacji zestawów kulek i zestawów pudełek miałbyś \(\displaystyle{ C^{2}_5 \cdot C^{2}_{4}=60}\). A przecież jeszcze można te kule różnie rozmieścić. Samych takich układów 2+2 byłoby więc 120.

Gdyby nawet uwzględnić te uwagi to i tak podany przez Ciebie sposób rozmieszczania kul to ślepa uliczka, bo:

1) jeżeli będziesz miał zapełnione dwa pudełka dwoma kulami, to jak rozmieścisz 3 pozostałe kule?
2) gdy na początku np. do pudełka 2 włożysz kulę A a później dołożysz kule B i D, to przecież będzie to taki sam układ gdybyś na początku do pudełka 2 włożył kulę D a dołożył A i B albo włożył kulę B a dołożył A i D. Widzisz więc, że pomnożenie przez ilość możliwości rozmieszczenia 3 kul w 2 pudełkach powodowałoby wielokrotne policzenie tych samych wariantów jako różnych. Przypadki gdy dokładamy do pudełka 1 kulę są wówczas liczone podwójnie, gdy dokładamy 2 kule potrójnie, a gdy dokładamy 3 kule poczwórnie.

Natomiast sposób podany przez *Kasię jest bardzo logiczny. Wybierasz dwa pudełka (czyli te które mają być zapełnione). I teraz do tych dwóch pudełek wkładasz w dowolny sposób kule. Ponieważ mogą się zdarzyć dwa przypadki gdy wszystkie kule będą w jednym pudełku to je odejmujesz.

[KotwButach]

Dzięki, Twoje wyjaśnienie pomogło także w kilku innych zadaniach. Pozdrawiam.