Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: dawido000 » 5 sty 2008, o 13:34

Pięć ponumerowanych kul umieszczamy losowo w czterech różnokolorowych pudełkach. Ile jest możliwych rozmieszczeń tych kul, jeżeli:
a) każda kula może znaleźć się w dowolnym pudełku,
b) kule mogą się znaleźć tylko w dwóch pudełkach?

prosiłbym o krótkie objaśnienie, znam takie pojęcia jak permutacja, wariacje z i bez oraz kombinacja, potrafię je stosować, ale nie w tym przypadku

*Kasia
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: *Kasia » 5 sty 2008, o 13:49

Ad a

\(\displaystyle{ 4^5}\)
Pierwsza kula na cztery sposoby, druga na cztery sposoby, ...

Ad b
\(\displaystyle{ C^2_4\cdot (2^5-2)}\)
Na \(\displaystyle{ C^2_4}\) sposobów wybieramy dwa pudełka. Potem rozkładamy na \(\displaystyle{ 2^5}\) sposobów kule w tych dwóch pudełkach; odejmujemy od tego dwie sytuacje, kiedy kule znajdą się w jednym pudełku.

KotwButach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 30 mar 2011, o 12:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 14 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: KotwButach » 26 wrz 2011, o 00:19

Rozwiązanie jest jasne. Jednak czy ktoś potrafi wytłumaczyć mi, dlaczego mój tok rozumowania jest błędny:

Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek. Ma na to 12 możliwości (\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) opcji). Następnie pomiędzy te dwa pudełka rozmieszcza pozostałe 3 kule (\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 2}\) możliwych rozmieszczeń). Razem \(\displaystyle{ 12 \cdot 8 = 96}\). Ten wynik jest zły, tylko dlaczego?
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2011, o 14:06 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: mm34639 » 26 wrz 2011, o 11:19

KotwButach pisze:
Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek. Ma na to 12 możliwości (\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) opcji)
W jaki sposób je rozmieszczasz? Skąd to \(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\)?
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2011, o 14:06 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

KotwButach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 30 mar 2011, o 12:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 14 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: KotwButach » 29 wrz 2011, o 03:03

Pierwszą kulę mogę umieścić w jednym z 4 pudełek. Drugą, zakładając, że będzie w innym, już tylko w 3. Skąd 3*4.

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: mat_61 » 29 wrz 2011, o 10:33

KotwButach pisze:Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek. Ma na to 12 możliwości (\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) opcji)
Twoje rozumowanie jest od początku niepoprawne. Napisałeś tak:

Rozmieszczam 2 kule w dwóch z czterech pudełek.

Ale które to są kule i które pudełka?
Przecież jeżeli chcesz włożyć kule do wybranego pudełka to musisz najpierw tą kulę wybrać spośród pięciu. To co napisałeś to tak naprawdę tylko wybór dwóch pudełek i to jeszcze w sytuacji gdy miałaby się liczyć kolejność ich wyboru. Gdybyś miał rozmieścić tylko 2 kule (z pięciu) w dwóch pudełkach (z czterech), to samych kombinacji zestawów kulek i zestawów pudełek miałbyś \(\displaystyle{ C^{2}_5 \cdot C^{2}_{4}=60}\). A przecież jeszcze można te kule różnie rozmieścić. Samych takich układów 2+2 byłoby więc 120.

Gdyby nawet uwzględnić te uwagi to i tak podany przez Ciebie sposób rozmieszczania kul to ślepa uliczka, bo:

1) jeżeli będziesz miał zapełnione dwa pudełka dwoma kulami, to jak rozmieścisz 3 pozostałe kule?
2) gdy na początku np. do pudełka 2 włożysz kulę A a później dołożysz kule B i D, to przecież będzie to taki sam układ gdybyś na początku do pudełka 2 włożył kulę D a dołożył A i B albo włożył kulę B a dołożył A i D. Widzisz więc, że pomnożenie przez ilość możliwości rozmieszczenia 3 kul w 2 pudełkach powodowałoby wielokrotne policzenie tych samych wariantów jako różnych. Przypadki gdy dokładamy do pudełka 1 kulę są wówczas liczone podwójnie, gdy dokładamy 2 kule potrójnie, a gdy dokładamy 3 kule poczwórnie.

Natomiast sposób podany przez *Kasię jest bardzo logiczny. Wybierasz dwa pudełka (czyli te które mają być zapełnione). I teraz do tych dwóch pudełek wkładasz w dowolny sposób kule. Ponieważ mogą się zdarzyć dwa przypadki gdy wszystkie kule będą w jednym pudełku to je odejmujesz.

KotwButach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 30 mar 2011, o 12:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 14 razy

Pięć ponumerowanych kul i cztery kolorowe pudełka.

Post autor: KotwButach » 29 wrz 2011, o 12:50

Dzięki, Twoje wyjaśnienie pomogło także w kilku innych zadaniach. Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ