4 zadania z wariacji [chyba]

Fuser · Post autor: **Fuser** » 5 sty 2008, o 13:26

1. Ile jest roznych rozmieszczen 10 kul w szufladach?
2. Na ile sposobów można ustawić na półce 3 książki w języku angielskim, 5 w jezyku niemieckim i cztery napisane po polsku, w taki sposób, aby książki napisane w jednym języku znajdowały się obok siebie?
3. W 14osobowej grupie dzieci jest trójka rodzenstwa. Na ile sposobów można ustawić tę grupę w szeregu tak, aby rodzenstwo nie stało obok siebie?
4. Ile dzielników ma liczba 2*3*5*7*11*13?

Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam

*Kasia · Post autor: *Kasia » 5 sty 2008, o 13:41

Ad 2
\(\displaystyle{ 3!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 4!}\)
Książki w tym samym języku traktujemy jako jeden element - ilość ustawień \(\displaystyle{ 3!}\). Potem ilości ustawień w obrębie pojedynczego elementu (jednego języka).

Ad 4
\(\displaystyle{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64}\)

kinwotar · Post autor: **kinwotar** » 5 sty 2008, o 14:18

3. jest trójka rodzeństwa i 11 innych dzieci. rodzenstwo trzeba wsadzic miedzy inne dzieci czyli trójka rodzeństwa ma 12 miejsc do wyboru. \(\displaystyle{ 11!{12\choose 3}3!}\)

1. zakładamy że jest n szufladek:

kule takie same szufladki różne
\(\displaystyle{ {n+10-1\choose 10}}\)

kule różne szufladki różne
\(\displaystyle{ n^{10}}\)

Fuser · Post autor: **Fuser** » 6 sty 2008, o 09:28

OK, wielkie dzieki. Mam jednak zastrzezenie do zadania 3. Jest to zadanie ze zbioru maturalnego Tomasza Karolaka i on tam podaje odpowiedz 14!- 3!*12!.

kinwotar · Post autor: **kinwotar** » 6 sty 2008, o 12:04

no bo autor zakłada że trójka dzieci nie może siedzieć koło siebie a np dwójka już może a ja zrobiłem to tak że każde dziecko z rodziny siedzi osobno. swoją drogą dobrze, że napisałeś bo miałem błąd w tym rozwiązaniu ;] pozdro

Fuser · Post autor: **Fuser** » 6 sty 2008, o 14:04

ale dlaczego 3!*12!?

kinwotar · Post autor: **kinwotar** » 6 sty 2008, o 14:23

14! jest wszystkich możliwości przestawień dzieci od tego odejmujesz wszystkie możliwości kiedy trójka dzieci z rodziny siedzi koło siebie. trójke dzieci traktujesz jako 1 element to wtedy jest 12 elementów które można poprzestawiać na 12! sposobów ale wtedy 3 dzieci cały czas siedzi obok siebie w jednym konkretnym ustawieniu jak pomnożysz przez 3! to wtedy uwzgledniasz też kolejność trójki dzieci.

Fuser · Post autor: **Fuser** » 12 sty 2008, o 10:16

dlaczego w zadaniu 4 wynik to 64?

Szemek · Post autor: **Szemek** » 12 sty 2008, o 10:31

Jeżeli daną liczbę \(\displaystyle{ m}\) można przedtawić w postaci \(\displaystyle{ m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdot ... p_n^{k_n}}\) (gdzie \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n}\) są różnymi liczbami pierwszymi) to ilość dzielników tej liczby wynosi \(\displaystyle{ w=(k_{1}+1)\cdot( k_{2}+1)\cdot... ( k_{n}+1)}\)