n przedmiotów w pewnej kolejnosci

[doniczek]

n różnych przedmiotów ustawiono w pewnej kolejności, a następnie wymieszano ze sobą i ustawiono ponowni w przpadkowy sposób. Zakładając że wszystkie ustawienia sa jednakowo prawadopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia że conajmniej jeden z tych przedmiotów stoi na poprzednio zajmowanym miejscu.

Mimo że zadania wygląda na takie z prawdopodobieństwa to w sumie nie jest bo trzeba tylko prawdopodobieństwo klasyczne zastosować ale ja mam problem z kombinatoryka...

Zdarzenie przeciwne do tego z zadania to A' - żaden z przedmiotów nie stoi na poprzednio zajmowanym miejscu. No więc robie tak:
\(\displaystyle{ a_{n}}\) - przedmiot n nie stoi na poprzednim miejscu
#\(\displaystyle{ a_{1}={n-1 \choose 1}(n-1)! = a_{2}=a_{3}=...=a_{n}}\)
#\(\displaystyle{ (a_{1} \cap a_{2}) = {n-1 \choose 1}{n-2 \choose 1}(n-2)!}\)
i tak dalej jak to w zasadzie właczeń/wyłączeń, na koniec wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{ n! \sum_{k=1}^{n}((-1)^{k+1} \frac{\prod_{l=1}^{k}(n-l)}{k!})}\)

Omega = n!, więc n! się skraca i P(A) = 1 - P(A'), co nija k się ma do odpowiedzi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}((-1)^{k+1} \frac{1}{k!})}\)

gdzie jest błąd ? jak powinno to wyglądać ?

[sigma_algebra1]

Coś mi się wydaje że przekombinowałeś , a moze tak lepiej?:

\(\displaystyle{ A_n}\)- zdarzenie ze n-ty przedmiot stoi na właściwym miejscu, szukamy prawdowpodobieństwa zdarzenia, że co najmniej jeden stoi na właściwym miejscu, czyli szukamy mocy sumy tych zbiorów, czyli z zasady włączeń i wyłączeń:

\(\displaystyle{ |A_1 \cup A_2 ... \cup A_n|= \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} (n-k)!=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\frac{n!}{k!}}\)

n! tak jak piszesz się skraca i zostaje to co chciałeś.