Niech Q będzie wielościanem, którego każda ściana jest 5-o kątem lub 6-o kątem.
a. Udowodnić, że wielościan musi mieć co najmniej 12 ścian pięciokątnych
b. Udowodnić, że jeśli w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie 3 ściany to ma on dokładnie 12 ścian 5-o kątnych
Jestem niemal przekonany, że trzeba tu zastosować twierdzenie Eulera. Tzn. zależność między:
W -liczba wierzchołków
S -liczba ścian
K -liczba krawędzi
Zachodzi: \(\displaystyle{ W + S = K + 2}\).
Myślę, że istotne są też zależności: \(\displaystyle{ W q \frac{2}{3} K}\)
oraz \(\displaystyle{ S q \frac{2}{3} K}\)
Tylko nie mam pojęcia jak to ruszyć, aby udowodnić wymienione problemy
generalnie mamy do czynienia z grafem planarnym. poza wypisanymi wyzej zaleznosciami zachodzi jeszcze:
suma stopni wierzcholkow jest rowna podwojonej liczbie krawedzi
niech x oznacza liczbe 5-katow, a y liczbe 6-katow, zachodzi wowczas \(\displaystyle{ S=x+y}\) oraz \(\displaystyle{ K= \frac{5x+6y}{2}}\)
rozwazmy punkt b.
skoro w kazdym wierzcholku schodza sie 3 sciany (krawedzie), to stopien kazdego wierzcholka wynosi 3 wiec \(\displaystyle{ 2K=3W}\)
z powyzszych zaleznosci otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ S=2y+12}\) (w punkcie a. w tym miejscu dostaniemy nierownosc, co oznacza, ze przynajmniej 12 scian nie bedzie 6-katami, a wiec beda one 5-katami)
rozwiazujac dalej rownania otrzymamy \(\displaystyle{ x=12}\)
