Ile jest funkcji zbioru w ten sam zbiór, takich że..

[Krowax]

Ile jest funkcji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}}\) w ten sam zbiór, takich że conajmniej dwie wartości są równe, tzn. takich że \(\displaystyle{ f(i) = f(j)}\) dla conajmniej jednej pary argumentów i, j.
Czy odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 4^{5}}\)?
Proszę o pomoc...

[UNIX_admin]

od liczby wszystkich funkcji trzeba odjac liczbe iniekcji, czyli:
\(\displaystyle{ 5^5-5!}\)

[Krowax]

Dzięki za wsparcie a może ma ktoś pomysł na rozwiązanie podobnego zadania?

Zadanie 1
Ile jest funkcji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}}\) w ten sam zbiór, takich że conajmniej dwie wartości nie są równe, tzn. takich że \(\displaystyle{ f(i) \neq f(j)}\) dla conajmniej jednej pary argumentów \(\displaystyle{ i, j}\).
Czy odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 5^{5}-5!-5!}\)?

Zadanie 2
Ile jest bijekcji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}}\) w ten sam zbiór, takich że \(\displaystyle{ f(1)=1}\) lub \(\displaystyle{ f(3)=3}\) lub \(\displaystyle{ f(5)=5}\).
Odpowiedź chyba 'powstaje' z zasady włączania-wyłączania?
\(\displaystyle{ f(1)=1 \rightarrow 4!}\)
\(\displaystyle{ f(1)=1 \wedge f(3)=3 \rightarrow 3!}\)
\(\displaystyle{ f(1)=1 \wedge f(3)=3 \wedge f(5)=5 \rightarrow 2!}\)
Odpowiedź : \(\displaystyle{ 3 \cdot 4! - 3 \cdot 3! + 2!}\)

Zadanie 3
Ile jest iniekcji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, 4 \}}\) w zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,2,3,4,5 \}}\), takich że \(\displaystyle{ f(1)=1}\) lub \(\displaystyle{ f(2)=2}\) lub \(\displaystyle{ f(3)=3}\).
Chyba także trzeba użyć zasady wł-wył?
\(\displaystyle{ f(1)=1 \rightarrow 4^{\underline{3}}}\)
\(\displaystyle{ f(1)=1 \wedge f(2)=2 \rightarrow 3^{\underline{2}}}\)
\(\displaystyle{ f(1)=1 \wedge f(2)=2 \wedge f(3)=3 \rightarrow 2^{\underline{1}}}\)
Odpowiedź : \(\displaystyle{ 3 \cdot 4^{\underline{3}} - 3 \cdot 3^{\underline{2}} + 2^{\underline{1}}}\)

[kinwotar]

1. co najmniej dwie wartości nie są równe wtedy gdy odrzucimy przypadki kiedy wszystkie wartości są równe, takich przypadków jest 5 czyli: \(\displaystyle{ 5^5-5}\)

3.w tym trzecim jeżeli zrobisz \(\displaystyle{ 4^{3}}\) to nie powstanie iniekcja bo otrzymasz np 1,2,2,2
Najpierw masz daną jedną dwie lub 3 liczby a potem wybierasz bez powtórzeń z pozostałych i wykonujesz permutacje. czyli przykładowo dla f(1)=1. Jako wartości zostają 4 liczby, a z nich losujesz 3 bez powtórzeń, gdzie kolejność ma znaczenie \(\displaystyle{ \frac{4!}{1!}}\) (wariacja bez powtórzeń).