W pewnej szkole 64 uczniow bierze udzial w 5 olimpiadach. W kazdej z nich bierze udzial przynajmniej 19 uczniow. Zaden z nich nie jest uczestnikiem wiecej niz 3 olimpiad. Udowodnij, ze jezeli kazde 3 olimpiady maja wspolnego uczestnika, to pewne 2 maja co najmniej 5 uczestnikow.
Bardzo prosze o szybko odpowiedz i z gory dziekuje.
OM[46]kombinatoryka
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
OM[46]kombinatoryka
niech Ai oznaczają poszczególne olimpiady(zbiory uczestników)
i=5
niech \(\displaystyle{ |Ai|=x_{i}}\) (ilość uczestników w każdej olimpiadzie)
\(\displaystyle{ |A_{i} \cap A_{j}|=y_{s},s=1,...,10,i \neq j}\) (ilość uczestników w dwóch olimpiadach)
\(\displaystyle{ |A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}|=z_{r},r=1,...,10,i \neq j \neq k}\) (ilość uczestników w trzech olimpiadach)
z zadania wiemy że iloczyn poczwórny i przecięcie się wszystkich zbiorów jest puste ponieważ wiemy z treści że każdy uczeń startuje w najwyżej 3 olimpiadach
Teraz ze wzoru Sylwestra (już niedługo niecały miesiąc)
mamy:
\(\displaystyle{ 64=x_{1}+x_{2} +...+x_{5}- (y_{1}+y_{2}+...+y_{10}) +z_{1}+z_{2}+...+z_{10}} \geqslant 5*19+10- (y_{1}+y_{2}+...+y_{10}) =105-(y_{1}+y{2+...+y_{10})}\)
te ostatnie mamy z warunków zadania bo w każdej olimp. jest minimum 19 uczestników
a w każdej z trzech olimpiad jest przynajmniej 1 uczestnik
skracając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 64 \geqslant 105-(y_{1}+y_{2}+...+y_{10})}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+...+y_{10} \geqslant 41}\)
z tego widać że skoro yi oznacza uczestników w 3 olimpiadach i yi>=1
widaż że któreś yi >=5 bo jakby miało być 4 to wyszłoby =40 a to za mało
z prostej zasady szufladkowej cnd...
[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 12:54 ]
Nie wiem czy było wystarczająco szybko
ale powiem więcej ten typ zadań z moich obserwacji
wprowadza odczucia wymiotne u większości matematyków
nikt takich zadań nie za bardzo lubi ale dobrze że się coś takiego pojawiło wreszcie ..
Musiałem wziąć awiomarin przed rozwiązaniem,,,
znajomemu pokazałem ale nie chciał robić ponieważ mu zabrakło lekarstwa...
pozdro...
[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 12:56 ]
sorki tam na końcu miało być yi uczestników w 2 olimpiadach
[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 12:56 ]
pięknie
i=5
niech \(\displaystyle{ |Ai|=x_{i}}\) (ilość uczestników w każdej olimpiadzie)
\(\displaystyle{ |A_{i} \cap A_{j}|=y_{s},s=1,...,10,i \neq j}\) (ilość uczestników w dwóch olimpiadach)
\(\displaystyle{ |A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}|=z_{r},r=1,...,10,i \neq j \neq k}\) (ilość uczestników w trzech olimpiadach)
z zadania wiemy że iloczyn poczwórny i przecięcie się wszystkich zbiorów jest puste ponieważ wiemy z treści że każdy uczeń startuje w najwyżej 3 olimpiadach
Teraz ze wzoru Sylwestra (już niedługo niecały miesiąc)
mamy:
\(\displaystyle{ 64=x_{1}+x_{2} +...+x_{5}- (y_{1}+y_{2}+...+y_{10}) +z_{1}+z_{2}+...+z_{10}} \geqslant 5*19+10- (y_{1}+y_{2}+...+y_{10}) =105-(y_{1}+y{2+...+y_{10})}\)
te ostatnie mamy z warunków zadania bo w każdej olimp. jest minimum 19 uczestników
a w każdej z trzech olimpiad jest przynajmniej 1 uczestnik
skracając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 64 \geqslant 105-(y_{1}+y_{2}+...+y_{10})}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+...+y_{10} \geqslant 41}\)
z tego widać że skoro yi oznacza uczestników w 3 olimpiadach i yi>=1
widaż że któreś yi >=5 bo jakby miało być 4 to wyszłoby =40 a to za mało
z prostej zasady szufladkowej cnd...
[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 12:54 ]
Nie wiem czy było wystarczająco szybko
ale powiem więcej ten typ zadań z moich obserwacji
wprowadza odczucia wymiotne u większości matematyków
nikt takich zadań nie za bardzo lubi ale dobrze że się coś takiego pojawiło wreszcie ..
Musiałem wziąć awiomarin przed rozwiązaniem,,,
znajomemu pokazałem ale nie chciał robić ponieważ mu zabrakło lekarstwa...
pozdro...
[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 12:56 ]
sorki tam na końcu miało być yi uczestników w 2 olimpiadach
[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 12:56 ]
pięknie