Kule i pudełka

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
no name
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 23 paź 2007, o 17:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: mam to wiedzieć
Podziękował: 5 razy

Kule i pudełka

Post autor: no name »

Zadanie 1.

Na ile sposobów można rozmieścić 8 jednakowych kul w 5 pudełkach. Albo 9 jednakowych kul w 4 pudełkach. Jest może na to jakiś ogólny wzór, gdy pudełka i kule są takie same, nierozróżnialne?

Zadanie 2.

Na ile sposobów można 5 kul (różnych) w 8 pudełkach jeśli w każdym może być co najwyżej 1 kula.

Zadanie 3.

Na ile sposobów można rozmieścić 8 jednakowych kul w 5 pudełkach tak, aby żadne pudełko nie było puste.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Kule i pudełka

Post autor: arek1357 »

zad 1 :

\(\displaystyle{ {8+5-1\choose 8}}\)

to masz wzór gdy kule są nierozróżnialne a urny tak

wzór ogólny:

\(\displaystyle{ {n+k-1\choose n}}\) gdzie n kule (nier.)

k - pudełka rozróżnialne

a ggdy urny i kule są nierozróżnialne masz wytłumaczone przezemnie
w tym linku:

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=48456

w zadaniu 2 gim nie wiem czy pudła są rozróżnialne

w 3 cim też nie wiem czy pudła są rozróżnialne

[ Dodano: 20 Listopada 2007, 17:17 ]
Bo jeśli w 2 gim pudła są nierozróżnialne a kule tak to na to jest jeszcze inny wzór
no name
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 23 paź 2007, o 17:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: mam to wiedzieć
Podziękował: 5 razy

Kule i pudełka

Post autor: no name »

Mam takie pytania i poza tymi informacjami nic więcej nie wiem.
artmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 16 wrz 2014, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 20 razy

Kule i pudełka

Post autor: artmat »

Gdyby rozważyć inną postać zadania 1. Mamy 8 kul, 5 pudełek. Pudełka i kule są rozróżnialne. Chcemy aby w każdym pudełku znalazła się co najmniej jedna kula ?
Wybieramy 5 z 8 kul \(\displaystyle{ {8\choose 5}}\) i rozmieszczamy je w pudełkach na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów. Pozostałe 3 kule mogą znaleźć się w dowolnych pudełkach czyli mamy \(\displaystyle{ 5^{3}}\) sposobów. Iloczyn tych wyrazów jest rozwiązaniem.
Czy moje rozumowanie jest poprawne ?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Kule i pudełka

Post autor: Medea 2 »

Nie, bo niektóre liczysz dwukrotnie. Na przykład: do pudełek trafiają kolejno 1, 2, 3, 4, 5; później dosypujesz trzy kule do trzech pierwszych, masz 16, 27, 38, 4, 5.

Inaczej: wybierasz 6, 7, 8, 4, 5; potem dokładasz 1, 2, 3.
artmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 16 wrz 2014, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 20 razy

Kule i pudełka

Post autor: artmat »

Jak usunąć te przypadki albo jak inaczej zapisać wynik żeby ich nie uwzględniać dwukrotnie ?
Proszę o jakieś wskazówki
ODPOWIEDZ