Zadanie do udowodnienia z: charakterystyki liczbowe zmiennej

[Madlen_]

Mam takie zadanko do udowodnienia i zbytnio nie mam pomysłu jak się za to wziąść
ma ktoś jakiś pomysł?


Niech X i Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi mającymi skończone wartości przeciętne.
Sprawdzić, że: \(\displaystyle{ D ^{2}(X+Y)= D ^{2}(X)+D ^{2}(Y)+2E[(X-E(X)(Y-E(Y)]}\)

Korzystając z tej równości wykazać prawdziwość:\(\displaystyle{ D ^{2}(X+Y)= D ^{2}(X)+D ^{2}(Y)}\)
dla niezależnych zmiennych losowych X, Y.

[abrasax]

\(\displaystyle{ D^2(X+Y)=E(X+Y-E(X+Y))^2=E(X+Y-EX-EY)^2 = \\ E(X-EX+Y-EY)^2 = E(X-EX)^2+2E(X-EX)(Y-EY)+E(Y-EY)^2 = D^2X+D^2Y+2E(X-EX)(Y-EY)}\)

gdy X, Y są niezależne to (X-EX) oraz (Y-EY) również są niezależne:

\(\displaystyle{ E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)=0 0 =0}\)