zadanie: ile rozwiązań ma równanie... ?

luski · Post autor: **luski** » 17 lis 2007, o 20:49

Czy wiecie jak zrobić takie zadanie?

ile rozwiązań ma równanie:

\(\displaystyle{ x_{1} + ... + x_{k} + y_{1} + ... + y_{p} = n}\)

gdzie \(\displaystyle{ x_{i}}\) - nieparzyste, całkowite, dodatnie, \(\displaystyle{ y_{i}}\) > 2, nieparzyste, całkowite

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 18 lis 2007, o 14:04

mi się wydaje że tak:

funkcja tworząca

\(\displaystyle{ f=(x+x^{3}+x^{5}+...)^{k}*(y^{3}+y^{5}+...)^{p}}\)

i rozwiązanie to:

\(\displaystyle{ \sum_{i+j=n}coeff(x^{i}y^{j})}\)

[ Dodano: 18 Listopada 2007, 15:34 ]
\(\displaystyle{ f= \frac{x}{(1-x^{2})^{k}}* \frac{y^{3}}{(1-y^{2})^{p}}}\)

\(\displaystyle{ =\sum_{i=0}^{\infty}{k+i-1\choose i}x^{2i+1}*\sum_{j=0}^{\infty}{p+j-1\choose j}y^{2j+3}}\)

\(\displaystyle{ a_{i,j}={k+i-1\choose i}*{ p+j-1\choose j}}\)

z warunkiem

\(\displaystyle{ 2i+1+2j+3=n}\)

czyli warunek

\(\displaystyle{ i+j=\frac{n-4}{2}}\)

luski · Post autor: **luski** » 18 lis 2007, o 16:01

aha. a mógłbyś to wytłumaczyć np. na koszyczkach i piłeczkach lub jakoś w tym stylu?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 18 lis 2007, o 16:10

Tu masz taką sprawę:

masz n nierozróżnialnych kulek które rozmieszczasz w k szufladach i k urnach szuflady i urny są rozróżnialne ,
a poza tym w każdej szufladzie ma być ilość kul nieparzysta,
a w urnach ilośc kul jest nieparzysta i większa od 2
czyli minimum ma być kul 3 w urnie a w szufladzie minimum 1...

[ Dodano: 18 Listopada 2007, 16:10 ]
Sorki na początku miało być p urnach bo urn jest p

[ Dodano: 18 Listopada 2007, 18:35 ]
NNNo i czy to jasne???

luski · Post autor: **luski** » 18 lis 2007, o 21:32

tak, opis zadania jest jasny, tylko rozwiązania nie rozumiem

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 19 lis 2007, o 00:18

Hm z rozwiązaniem jest taki problem że w takich przypadkach trzeba rozumieć idee tworzenia funkcji tworzących.
Bo w niektórych przypadkach same wzory to za mało a problemy się komplikują zauważ że na początku utworzyłem ciąg geometryczny (dwa ciągi) z x i y a wykładniki symbolizują ilość kul w urnie musisz sobie albo to uzmysłowić albo poczytać na ten temat...
Dalsza część to zwinięcie tego nieskończonego szeregu geometrycznego jako sumę a potem ozwinięcie z powrotem po podniesieniu do potęgi...

tak aż otrzymałem współczynnik aij gdzie suma po wszystkich i j z warunku końcowego daje ilość rozmieszczeń tych kul...

Ja rozumiem że to nie jest na pierwszy rzut takie oczywiste
nno ale jak mówię trza się wgłębić poczytać ...i zrozumieć

Polecam dobrą stronę :

... dwumianowe

choć ich twórcy trochę zbufonieli ...

dodam jeszcze że kombinatoryka staje się ciekawsza tam gdzie jest styczna z analizą różniczkową...

A tak pozatym jestem ciekawy skąd to zadanie wytrzasnęłeś??
Nigdy czegoś takiego nie widziałem z żadnego zakresu kierunków
studiów ani liceum.
Takiego zadania nie da przeciętna pani od matematyki ponieważ sama by go nie rozwiązała często ...

[ Dodano: 19 Listopada 2007, 00:25 ]
Dodam jeszcze o tym zbufonieniu ponieważ raz coś się zapytałem wysyłając meila na tę stronkę z jakimś tam problemikiem już nieważnym
ponieważ znalazłem odpowiedź sam a oni mi wysłali meila z bardzo ciętą ripostą jakoby nie zajmowali się problemami (matematycznymi bo taki to problem był) więc skoro ich to tak zagotowało nno to sorki dałem odpust
ale o problemie piszę na forum ponieważ jest okazja a mnie takie rzeczy szczególnie drażnią...a tym samym ostrzegam innych

doniczek · Post autor: **doniczek** » 19 lis 2007, o 16:10

ech musi byc jakis prostszy sposob, bo było takie na kolokwium z dyskretnej
moze jakos z tego ze
\(\displaystyle{ y_{p} = x_{k+p} +2}\)
tylko i tak pozostaje problem z nieparzystymi

luski · Post autor: **luski** » 19 lis 2007, o 16:52

doniczek pisze:ech musi byc jakis prostszy sposob, bo było takie na kolokwium z dyskretnej

Jaki ten świat mały Taaak, to zadanie z jakiegoś tam kolosa z matematyki dyskretnej (informatyka PW).

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 19 lis 2007, o 17:17

Ale to co napisał Doniczek nie musi być prawdą co do tego zadania

luski · Post autor: **luski** » 19 lis 2007, o 18:05

Wpadłem na pomysł prostego rozwiązania. Proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.

\(\displaystyle{ x_{1} + ... + x_{k} + y_{1} + ... + y_{p} = n}\)
n - ilość piłeczek
\(\displaystyle{ x_{i}}\) - koszyczki, w których ma być nieparzysta ilość piłeczek
\(\displaystyle{ y_{i}}\) - koszyczki, w których ma być nieparzysta ilość piłeczek > 2

wrzucam do koszyczków x po jednej piłeczce, zaś do koszyczków y po 3 piłeczki.
ilość pozostałych piłeczek = n - k - 3p.

Piłeczek ma być nieparzysta ilość, więc pozostałe piłeczki scalam w ten sposób, że 2 traktuję jako jedno. Par piłeczek jest \(\displaystyle{ \frac{n - k - 3p}{2}}\)

Teraz mamy o wiele prostszą sytuację. Pytanie brzmi: na ile sposobów można rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ x_{1} + ... + x_{k + p} = \frac{n - k - 3p}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{i} \geqslant 0}\)

Odpowiedź brzmi: \(\displaystyle{ {\frac{n + k - p}{2} - 1 \choose k + p - 1}}\)

doniczek · Post autor: **doniczek** » 19 lis 2007, o 18:11

Piłeczek ma być nieparzysta ilosc

dlaczego ?

Edit: nie zrozumialem o co ci chodzi ale juz jest ok

ALE dla n=10, k=1 , p =1 to sie nie spisuje

luski · Post autor: **luski** » 19 lis 2007, o 18:27

doniczek pisze:ALE dla n=10, k=1 , p =1 to sie nie spisuje

Spisuje.

mają być 4 rozwiązania i są, oto one:
1) x = 1, y = 9
2) x = 3, y = 7
3) x = 5, y = 5
4) x = 7, y = 3

Przypominam o warunku y > 2, x > 0 !

PS powodzenia na kolosie w środę