Udowodnij wzór (symbol Newtona).

[cyryl5]

\(\displaystyle{ {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} +...........+ {n \choose n} =2^n}\)


jak to udowodnic prosze pomozcie

Pamiętaj o klamrach:

Kod: Zaznacz cały

[tex] i [/tex]

Poza tym nie dubluj tematów.[/color]

[wb]

Korzystając z dwumianu Newtona:
\(\displaystyle{ (1+1)^n={n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} +...+ {n \choose n} \\ 2^n={n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} +...+ {n \choose n}}\)

[cyryl5]

i to wszystko juz a mozna jakaos z granc to obliczyc

[ Dodano: 12 Listopada 2007, 15:14 ]
wb, mozesz mi co dalej s tym mam zrobic

[wb]

Rozwiązanie zadania polega na tym, iż zastosowanie dwumianu Newtona dla przypadku:
\(\displaystyle{ (1+1)^n={n \choose 0}1^n 1^0+{n \choose 1}1^{n-1} 1^1+...+{n \choose n-1}1^1 1^{n-1}+{n \choose n}1^0 1^n}\)

z powodu potęg 1, które zawsze sa równe 1 i w mnożeniu dają tylko symbole Newtona. Z drugiej zaś strony lewa strona rozwinięcia dwumianu daje \(\displaystyle{ (1+1)^n=2^n}\), czyli wynik sumowania po prawej stronie rozwinięcia.