zadanie z biegaczami

[LySy007]

Potrzebuję pomocy przy następującym zadaniu. Prosiłbym jeszcze o jakieś komentarze do rozwiązania.

W każdym z \(\displaystyle{ 2}\) biegów półfinałowych startuje \(\displaystyle{ 8}\) zawodników. Do finału kwalifikuje się \(\displaystyle{ 4}\) pierwszych biegaczy z każdego półfinału. W jednym półfinale bierze udział \(\displaystyle{ 2}\) zawodników klubu sportowego GEPARD, a w drugim biegu półfinałowym \(\displaystyle{ 1}\) zawodnik tego klubu. Ile jest różnych wyników biegów półfinałowych, aby po ich rozegraniu do finału zakwalifikowało się co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) zawodników klubu sportowego GEPARD?

[jovante]

W pierwszym półfinale w \(\displaystyle{ {4 \choose 2}\cdot2!\cdot6!}\) przypadkach awansują dwaj zawodnicy klubu Gepard, zaś w \(\displaystyle{ {4 \choose 1}\cdot{4 \choose 1}\cdot2!\cdot6!}\) przypadkach uda się to tylko jednemu z nich.

W drugim półfinale mamy \(\displaystyle{ \frac{8!}{2}}\) wyników dających zawodnikowi klubu Gepard awans do finału się i tyle samo możliwości, że mu się to nie uda.

Ostatecznie awans do finału co najmniej dwóch zawodników klubu Gepard nastąpi w połowie wszystkich przypadków, bo:

\(\displaystyle{ {4 \choose 2}\cdot2!\cdot6!\cdot\left(\frac{8!}{2}+\frac{8!}{2}\right)+{4 \choose 1}\cdot{4 \choose 1}\cdot2!\cdot6!\cdot\frac{8!}{2}=\frac{(8!)^2}{2}}\)

[LySy007]

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć skąd bierze sie ten ostateczny wynik tak po kolei?

Wynik tego zadania na pewno jest prawidłowy, ale ten ostateczny zapis niewiele mi mówi.

Ja bym dodał liczby możliwości z 3 sytuacji (a tymczasem tutaj są 2):

1) kwalifikuje się 3 zawodników - 2 z pierwszego biegu i 1 z 2 biegu
2) kwalifikuje się 2 zawodników - 2 z 1 biegu
3) kwalifikuje się 2 zawodników - 1 z 1 biegu a drugi z 2 biegu