Zadanie 1
Na ile sposobów można rozmieścić 8 jednakowych klocków w 4 szufladach
Zadanie 2
a) Ile jest różnych rozmieszczeń 5 ponumerowanych kul w 7 pudełkach
b) Ile jest różnych rozmieszczeń 5 ponumerowanych kul w 7 pudełkach, jeżeli w każdym pudełku może być co najwyżej 1 kula
c) 5 ponumerowanych kul rozmieszczamy w 10 ponumerowanych komórkach. Ile jest sposobów rozmieszczeń tak, by w pierwszej komórce były 2 kule
d) 7 jednakowych kul rozmieszczamy w 5 pudełkach. Na ile sposobów możemy to zrobić, by żadne pudełko nie było puste
e) 7 jednakowych kul rozmieszczamy w 5 pudełkach. Na ile sposobów możemy to zrobić
Prosiłbym o małe wyjaśnienie dlaczego tak, a nie inaczej zostało to wyliczone i dlaczego akurat w takim przypadku stosuje się taki, a nie inny wzór. Z góry wielkie dzięki
Rozmieszczenia obiektów
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Rozmieszczenia obiektów
a czy pudełka są rozróżnialne czy nie?
tak samo szuflady i komórki
bo każdy przypadek ma inny wzór
[ Dodano: 7 Listopada 2007, 17:31 ]
w 2c mamy i kule i komórki rozróżnialne więc:
ilośc pewnie jest:
\(\displaystyle{ {5 \choose 2} *9^{3}}\)
tak samo szuflady i komórki
bo każdy przypadek ma inny wzór
[ Dodano: 7 Listopada 2007, 17:31 ]
w 2c mamy i kule i komórki rozróżnialne więc:
ilośc pewnie jest:
\(\displaystyle{ {5 \choose 2} *9^{3}}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Rozmieszczenia obiektów
zadanie 2 a)
skoro nie są rozróżnialne to mamy tak:
w a) kul 5- rozróżnialne 7 pudełek nierozróżnialne
oczywiście bierzemy pod uwagę że pudełka mogą być puste
problem ten łączy się z podziałem zbioru na niepuste podzbiory S(n,k)
gdzie n ilość kul k ilość pudełek
ale mamy tu takie możliwości:
tylko 1 pudełko będzie zapełnione ,tylko 2 tylko 3..., i tylko 5
w końcu wszystkich pudełek nie zapełnimy
a pudełka są nierozróżnialne więc nie ważne w jakim znajdą się kule
czyli ostatecznie niech S - ilość interesujących nas rozmieszxczeń
S=S(5,1)+S(5,2)+S(5,3)+S(5,4)+S(5,5)
a teraz podam ci piękny wzór z którego sobie sam wyliczysz:
\(\displaystyle{ S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}* {k\choose i}*i^{n}}\)
choć wiadomo i bez tego wzoru widać że S(5,1)=1 S(5,5)=1...można na piechotę
podstawisz zsumujesz i wyjdzie...
w b) mamy tylko 1 możliwośc bo nieważne które szuflady zapełnią się pojedynczymi kulami
S(5,5)=1
c) zrobione
[ Dodano: 7 Listopada 2007, 21:14 ]
w d) mamy większy zamęt ponieważ trza stosować wzór na ilość rozmieszczeń n nierozróżnialnych kul w k nierozróżnialnych szufladach tak że żadna nie jest pusta jest na to niezbyt piękny wzór P(n,k)
n -kule k- szuflady
oczywiście u ciebie szuflady w tym przykładzie nie mogą być puste a więc niech ilość rozmieszczeń wynosi P(7,5)
w e) mamy podobnie tylko dopuszczamy pustotę szuflad
niech P ilość rozmieszczeń czyli:
P=P(7,1)+P(7,2)+P(7,3)+P(7,4)+P(7,5)
P(7,1) tylko jedna zapełniona ,P(7,2) tylko 2 zapełnione itd...
a teraz podam wzór na P(n,k)
a dokładnie bo tu sobie trzeba samemu ustawiać:
\(\displaystyle{ P(n+k,k)=\sum_{i=1}^{k}P(n,i)}\)
oczywiście: P(n,1)=1 P(k,k)=1 P(n,k)=0 dla n
skoro nie są rozróżnialne to mamy tak:
w a) kul 5- rozróżnialne 7 pudełek nierozróżnialne
oczywiście bierzemy pod uwagę że pudełka mogą być puste
problem ten łączy się z podziałem zbioru na niepuste podzbiory S(n,k)
gdzie n ilość kul k ilość pudełek
ale mamy tu takie możliwości:
tylko 1 pudełko będzie zapełnione ,tylko 2 tylko 3..., i tylko 5
w końcu wszystkich pudełek nie zapełnimy
a pudełka są nierozróżnialne więc nie ważne w jakim znajdą się kule
czyli ostatecznie niech S - ilość interesujących nas rozmieszxczeń
S=S(5,1)+S(5,2)+S(5,3)+S(5,4)+S(5,5)
a teraz podam ci piękny wzór z którego sobie sam wyliczysz:
\(\displaystyle{ S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}* {k\choose i}*i^{n}}\)
choć wiadomo i bez tego wzoru widać że S(5,1)=1 S(5,5)=1...można na piechotę
podstawisz zsumujesz i wyjdzie...
w b) mamy tylko 1 możliwośc bo nieważne które szuflady zapełnią się pojedynczymi kulami
S(5,5)=1
c) zrobione
[ Dodano: 7 Listopada 2007, 21:14 ]
w d) mamy większy zamęt ponieważ trza stosować wzór na ilość rozmieszczeń n nierozróżnialnych kul w k nierozróżnialnych szufladach tak że żadna nie jest pusta jest na to niezbyt piękny wzór P(n,k)
n -kule k- szuflady
oczywiście u ciebie szuflady w tym przykładzie nie mogą być puste a więc niech ilość rozmieszczeń wynosi P(7,5)
w e) mamy podobnie tylko dopuszczamy pustotę szuflad
niech P ilość rozmieszczeń czyli:
P=P(7,1)+P(7,2)+P(7,3)+P(7,4)+P(7,5)
P(7,1) tylko jedna zapełniona ,P(7,2) tylko 2 zapełnione itd...
a teraz podam wzór na P(n,k)
a dokładnie bo tu sobie trzeba samemu ustawiać:
\(\displaystyle{ P(n+k,k)=\sum_{i=1}^{k}P(n,i)}\)
oczywiście: P(n,1)=1 P(k,k)=1 P(n,k)=0 dla n